改进的虚假邻近点法确定最佳嵌入维数的方法与步骤

1.相空间重构

相空间重构是计算Lyapunov指数等系统动力学行为混沌不变量的首要前提。根据Takens延迟坐标技术，设时间序列为{x_i：i=1，2，…，N}，嵌入维数为m，重构m维相空间中的点X_n的坐标为

X_n（m，τ）=[x_n，x_n+τ，…，x_{n+（m-1）τ}] （4-1）

其中，n=1，2，…，N_m，N_m=N-（m-1）τ，τ=iΔt为时间延迟，Δt为采样间隔，i为整数。

为了能在重构的空间中刻画原动力系统的性质，需正确地确定延迟时间间隔τ和嵌入维数m。

2.延迟时间

设焊接电流的时间序列{x_i：i=1，2，…，N}，x_i为在t_i时刻所得到的数据，其中t₁，t₂，…，t_N分别为Δt，2Δt，…，NΔt，Δt为时间序列的时间间隔。通常时间序列的自相关函数定义为

其中，τ∈（1，2，…，N-1）为时间延迟，x_i+τ为t_i+τ时刻所得到的数据，为x_i的平均值。

参照文献[12]，取一个合理的经验值为1-1/e，也就是当式（4-1）结果小于或等于1-1/e时，对应的τ值即为时间延迟。自相关函数下降到初始值的1-1/e时的时间。

3.嵌入维数

关于重构嵌入维数m的选择有多种方法，选用改进的虚假邻近点法（RFNN）^[16，17]用于选择m。改进的虚假邻近点法确定最佳嵌入维数的主要步骤如下。

对一组长为N的实测时间序列{x_n}_n=1^N，由x_n=[x_n，x_n-τ，…，x_{n-（m-1）τ}]可构造出m维状态向量：

其中，τ∈（1，2，…，N-1）为时间延迟，x_i+τ为t_i+τ时刻所得到的数据，为x_i的平均值。

参照文献[12]，取一个合理的经验值为1-1/e，也就是当式（4-1）结果小于或等于1-1/e时，对应的τ值即为时间延迟。自相关函数下降到初始值的1-1/e时的时间。

3.嵌入维数

关于重构嵌入维数m的选择有多种方法，选用改进的虚假邻近点法（RFNN）^[16，17]用于选择m。改进的虚假邻近点法确定最佳嵌入维数的主要步骤如下。

对一组长为N的实测时间序列{x_n}_n=1^N，由x_n=[x_n，x_n-τ，…，x_{n-（m-1）τ}]可构造出m维状态向量：

其中，N₀=（m-1）τ+1，τ是延迟时间间隔。

类似虚假最近邻点法的思想，定义：

其中，N₀=（m-1）τ+1，τ是延迟时间间隔。

类似虚假最近邻点法的思想，定义：

，式中采用L_infinity范数（无限范数），L_infinity范数是指最大的分量差，即。

记所有a（n，m）关于n的均值为

，式中采用L_infinity范数（无限范数），L_infinity范数是指最大的分量差，即。

记所有a（n，m）关于n的均值为

为了研究嵌入维数由m变为m+1时相空间的变化情况，定义：

E₁（m）=E（m+1）/E（m）

如果当m大于某个m₀时，E₁（m）停止变化，则m₀+1就是重构相空间的最小嵌入维数。

4.计算最大Lyapunov指数

1）介绍的重构相空间技术，重构的矢量点集为

X_n（m，τ）=[x_n，x_n+τ，…，x_{n+（m-1）τ}](www.xing528.com)

其中，n=1，2，…，N_m，N_m=N-（m-1）τ，τ=iΔt为时间延迟，Δt为采样间隔，i为整数。

为了研究嵌入维数由m变为m+1时相空间的变化情况，定义：

E₁（m）=E（m+1）/E（m）

如果当m大于某个m₀时，E₁（m）停止变化，则m₀+1就是重构相空间的最小嵌入维数。

4.计算最大Lyapunov指数

1）介绍的重构相空间技术，重构的矢量点集为

X_n（m，τ）=[x_n，x_n+τ，…，x_{n+（m-1）τ}]

其中，n=1，2，…，N_m，N_m=N-（m-1）τ，τ=iΔt为时间延迟，Δt为采样间隔，i为整数。

2）得到关系曲线

①找相空间中每个点X_i（m，τ）的最临近点X_j（m，τ），并满足短暂分离条件，即

2）得到关系曲线

①找相空间中每个点X_i（m，τ）的最临近点X_j（m，τ），并满足短暂分离条件，即

其中，d_i（0）为最临近点对之间的距离，i-j>P。

②对相空间中每个点X_i（m，τ），计算出该邻近点对的k个离散时间步后的距离d_k（k）：

其中，d_i（0）为最临近点对之间的距离，i-j>P。

②对相空间中每个点X_i（m，τ），计算出该邻近点对的k个离散时间步后的距离d_k（k）：

其中，i=1，2，…，min（N_m-i，N_m-j）。

其中，i=1，2，…，min（N_m-i，N_m-j）。

3）通过kΔt-d（k）曲线的直线段斜率计算出最大Lyapunov指数λ_max。

3）通过kΔt-d（k）曲线的直线段斜率计算出最大Lyapunov指数λ_max。

①用最小二乘法拟合出曲线直线段的斜率，即

①用最小二乘法拟合出曲线直线段的斜率，即

其中，N_k为q=0对应的前一个k值。

②最大Lyapunov指数的估计值为

λ_max=k/Δt （4-8）

其中，N_k为q=0对应的前一个k值。

②最大Lyapunov指数的估计值为

λ_max=k/Δt （4-8）