闭环频率特性的图形表达方式

（1）向量作图法

如图5-49所示单位负反馈系统，其闭环频率特性为

式中G（jω）是系统的开环频率特性，

设系统的开环频率特性如图5-50所示。由图可见，当ω＝ω1时

由此得到ω＝ω1时系统的闭环频率特性为

图5-49 单位反馈系统结构图

图5-50 单位反馈系统的开环幅相曲线

上式表明，当ω＝ω1时，系统的闭环频率特性的幅值等于向量与的幅值之比，而闭环频率特性的相角等于向量与的相角差。这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，便可绘制如图5-51所示的闭环幅频特性A（ω）和闭环相频特性φ（ω）。

图5-51 单位反馈系统的闭环频率特性图

虽然向量作图法说明了开环频率特性G（jω）与闭环频率特性之间的几何关系，但由于，需要逐点测量和作图，十分不便，因而在实际应用中很少采用。

（2）等幅值轨迹与等相角轨迹

①等M 圆图（等幅值轨迹）。

由向量作图法和图5-50可看出，对于G平面上任一点A，无论开环频率特性具有何种形式，在该点的闭环幅值是相同的。设单位反馈系统的开环频率特性为

G（jω）＝U＋jV

式中U，V分别是G（jω）的实部与虚部，它们都是角频率ω的实函数，由此得到系统的闭环频率特性为

即

由此得到

（M2－1）U2＋2M2U＋（M2－1）V2＋M2＝0（5-74）

若M＝1，则，这是在G平面上过点且平行于虚轴的直线方程，即是M＝1在G平面上的等幅值轨迹。

若M≠1，则式（5-74）可写成

即

这是一个标准圆方程，圆心坐标，半径是

当M＞1时，圆的半径随M值的增加而减小，圆心位于负实轴上（﹣1，j0）点左侧且收敛于（﹣1，j0）点；当M＜1时，圆的半径随M值的增加而增大，圆心位于正实轴上且收敛于（0，j0）点。

上述分析表明，闭环频率特性的幅值M 在G平面上满足由式（5-75）规定的圆（当M＝1时，可看成是半径为无穷大且圆心位于实轴上无穷远的特殊圆），当M 为一定值时，圆的半径及圆心位置便被确定，由不同的M值在G平面上构成的这簇圆叫做等M 圆或等幅值轨迹。由图5-52可看出，等M 圆在G平面上是以实轴为对称的，它们的圆心均在实轴上。当M＝1时，它是一条过点且平行于虚轴的直线（无穷大圆弧）；当M＞1时，等M圆簇均位于直线的左侧，且圆心由负实轴（﹣1，j0）点左侧收敛于（﹣1，j0）点。当M＜1时，等M圆簇均位于直线的右侧，且圆心由原点右侧收敛于（0，j0）点。

图5-52 等M 圆图

在工程实践中，应用等M 圆求取闭环幅频特性时，需先在透明纸上绘制出标准等M圆簇，然后按相同的比例尺在白纸或坐标纸上绘制出给定的开环频率特性G（jω），将绘制有标准等M 圆簇的透明纸放在开环频率特性图上，并将它们的坐标重合，根据G（jω）曲线与等M 圆簇的交点得到对应的M值和ω值，便可绘制出闭环幅频特性A（ω）（如图5-53和图5-54所示）。

用等M 圆求取闭环幅频特性不仅简单方便，而且还可以在G平面上直接看到当开环频率特性曲线G（jω）的形状发生变化时，闭环幅频特性A（ω）出现的相应变化，以及这些变化的趋势。由图5-53和图5-54还可看出，与G（jω）曲线相切的圆所表示的M 值就是闭环幅频特性的最大值，如果切点的M 值大于1，则切点处的M 值就是谐振峰值Mr，对应的频率值就是谐振频率ωr。谐振峰值Mr和谐振频率ωr是闭环幅频特性的两个重要特征量。它们与闭环系统的性能密切相关，有关内容将在5-5中讨论。

图5-53 利用等M 圆求取A（ω）

图5-54 控制系统闭环幅频特性图

②等N圆图（等相角轨迹）。

用类似等M 圆图的求取方法可分析系统的闭环相频特性（ω）及其在G平面上的图形。用θ表示闭环频率特性的相角，由式（5-73）有

即

化简后有

令N＝tanθ

则有(www.xing528.com)

整理后得到

这也是一个标准圆方程，圆心坐标是，半径为。当N或θ（N＝tanθ）为一定值时，它在G平面上是一个圆，改变N或θ的大小，它们在G平面上就构成了如图5-55所示的一簇圆，这簇圆的圆心都在虚轴左侧与虚轴距离为且平行于虚轴的直线上，我们称这簇圆为等N圆或等相角轨迹。

图5-55 等N圆

由图5-55可看出，不管N值的大小如何，当U＝V＝0及U＝﹣1，V＝0时，方程（5-76）总是成立的。这说明，等N圆簇中每个圆都将通过点（﹣1，j0）和坐标原点（0，j0）。

由图5-55还可看出，对于给定的θ值对应的等N值轨迹，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧，这是因为一个角度加上±180°（或±180°的倍数）。其正切值相等的缘故。例如θ＝30°和θ＝210°（或－150°）的N值均为，它们在G平面上是属于同一个圆上的一段圆弧。等N圆以实轴为对称，也对称于直线。

应当指出，由于等N圆是多值的，即同一个N值有无穷多个θ值与之对应，这些θ值是θ＝θ0±n·180°（n＝0，1，2，⋯），它们都满足正切条件N＝tanθ。因此，用等N圆来确定闭环系统的相角时，必须确定适当的θ值。为此，应该从对应于θ＝0°的零频率开始，逐渐增加频率直到高频，所得到的闭环相频曲线应该是连续的。

利用等N圆和开环频率特性曲线G（jω）求取闭环相频特性θ（ω）与用等M 圆图和开环频率特性曲线G（jω）求取闭环幅频特性A（ω）的方法完全相同，这里不再赘述。图5-56（a）和5-56（b）是用等N圆和开环频率特性曲线G（jω）求取闭环相频特性θ（ω）的一个示例。

图5-56利用等N圆求θ（ω）

③尼柯尔斯图线。

将单位反馈系统的开环频率特性和闭环频率特性表示成复指数的形式

将（5-78）式写成

Mej（α－φ）＋MAejα＝A

运用欧拉公式展开，得

M[cos（α－φ）＋Acosα]＋jM[sin（α－φ）＋Asinα]＝A

令方程两端虚部相等，有

取α为一常数，得到20lgA和φ的单值函数。令φ从0°～﹣360°变化，则在20lgA－φ平面可得到一条相应α值的曲线，若改变α的值，又可得到另一条曲线。这样，α取不同的值，就可得到一簇等α曲线。当20lgA0时，有φ≈α，所以，等α曲线在20lgA0时，是以横轴为渐近线的。

由式（5-78）可得

由欧拉公式有

闭环幅值为

由此可得到关于A的二次方程

解得

取M 为常数，φ从0°～﹣360°变化，计算出对应的20lgA，可在20lgA－φ平面得到一条等M线。取不同的M 值，就可得到等M 线簇。等M 线簇和等α线簇构成了尼科尔斯图线，如图5-57所示。等M线和等α线都关于﹣180°线轴对称。

根据尼科尔斯图线，可由单位反馈系统的开环频率特性求取闭环频率特性。方法是将系统的开环对数幅频特性和相频特性画在以20lgA为纵坐标，以φ为横坐标的平面上，即作出开环对数幅相频率特性，然后叠加在相同比例尺的尼科尔斯图线上，就可得到开环对数幅相频率特性曲线与尼科尔斯图线的交点，进一步可作出闭环系统的对数幅频特性和相频特性。

（3）非单位反馈系统的闭环频率特性

如图5-58所示的非单位反馈系统，其闭环频率特性为

上式可写成

图5-57 尼科尔斯图线

式（5-81）的方框图如图5-59所示，它是图5-58的等效方框图。

由图5-59得到非单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性分别为

或

式（5-82）说明，非单位反馈系统的对数闭环幅频率特性等于由G（jω）H（jω）为前向通道的单位反馈系统的对数闭环幅频特性减去反馈通道H（jω）的对数幅频特性得到的差。式（5-83）说明，非单位反馈系统的闭环相频特性等于由G（jω）H（jω）为前向通道的单位反馈系统闭环相频特性与H（jω）的相频特性的差。这样就可以利用等M 圆图和等N圆图先求出以G（jω）H（jω）为前向通道的单位反馈系统的闭环对数幅频特性和闭环相频特性，再分别减去反馈通道H（jω）的对数幅频特性和相频特性，便可得到非单位反馈系统的闭环对数幅频特性和闭环相频特性。

图5-58 非单位反馈系统框图

图5-59 非单位反馈系统等效框图