线性离散系统状态空间表达式的建立及求解

系统中只要有一处信号是离散的，便称为离散系统。有的系统其输入量、输出量、中间传递的信号都是离散的，有的系统其输入量、输出量及受控对象所传递的信号是连续的，惟有系统中的计算机传送并处理离散信号，这时，连续部分在连续采样点上的数据才是有用信息。完全的或局部的离散系统，在其采样间隔内，变量值保持常量。下面，分别对两种情况来研究动态方程及其解。

（1）由差分方程建立状态空间表达式

当离散系统用差分方程或脉冲传递函数描述时，单输入/单输出线性系统定常差分方程的一般形式为

y（k＋n）＋an－1y（k＋n－1）＋ ＋a1y（k＋1）＋a0y（k）＝bnu（k＋n）＋bn－1u（k＋n－1）＋⋯＋b1u（k＋1）＋b0u（k）（9-79）

式中，k表示kT时刻，T为采样周期；y（k），u（k）分别为kT时刻的输出、输入量；ai， bi是系统特性常数。考虑零初始条件的Z变换关系有

Z[y（k）]＝y（z），Z[y（k＋i）]＝ziy（z）

对式（9-79）两端求Z变换并整理可得

式中，G（z）称为脉冲传递函数，式（9-80）与式（9-24）在形式上相同，故连续系统状态空间表达式的建立方法同样适用于离散系统。下面，介绍一种采用中间变量的方法建立离散状态空间表达式。

在N（z）/D（z）串联分解中，引入中间变量Q（z），则有

znQ（z）＋an－1zn－1Q（z）＋⋯＋a1z Q（z）＋a0Q（z）＝u（z）

y（z）＝n－lzn－1Q（z）＋⋯＋β1z Q（z）＋β0z

现定义下列一组状态变量

则

znQ（z）＝﹣a0x1（z）－a1x2（z）⋯－an－1xn（z）＋u（z）

y（z）＝β0x1（z）＋β1x2（z）＋⋯＋βn－1xn（z）

利用Z反变换关系

Z﹣1[xi（z）]＝xi（k），Z﹣1[zxi（z）]＝xi（k＋1）

状态方程为

xn（k）＝﹣a0x1（k）－a1x2（k）⋯－an－1xn（k）＋u（k）

其矩阵向量形式为

y（k）＝β0x1（k）＋β1x2（k）＋⋯＋βn－1xn（k）

y（k）＝[βnβn－l⋯β1]x（k）＋β0u（k）

式中G 为友矩阵，G，h是可控标准形。可以看出，离散系统状态方程描述了（k＋1）T时刻的状态与kT 时刻的状态及输入量之间的关系；其输出方程描述了kT 时刻的输出量与kT 时刻的状态及输入量之间的关系。

线性定常多输入/多输出离散系统状态空间表达式为

x（k＋1）＝Gx（k）＋Hu（k）(www.xing528.com)

y（k ＝Cx（k）＋Du（k）

（9-82）

离散系统一般结构图如图9-14所示。图中z﹣1为单位时滞，其输入为（k＋1）T 时刻的状态，其输出为延迟一个采样周期的kT 时刻的状态。

（2）连续系统状态空间表达式的离散化

已知定常连续系统状态方程在x（t0）及u（t）作用下的解为

图9-14 离散系统状态空间结构图

令t0＝kT，则x（t0）＝x（kT）＝x（k）；令t＝（k＋1）T，则x[（k＋1）T]＝x（k＋1）；在t∈[k，k＋1]区间内，u（k）＝u（k－1）常数，于是其解化为

记

为了便于计算G（T），引入下列变量代换，令（k＋1）T－τ＝τ´，则

故离散系统状态方程为

x（k＋1）＝Φ（T）x（k）＋G（T）u（k）（9-84）

式中Φ（T）与连续系统状态转移矩阵Φ（t）的关系为

Φ（T）＝Φ（t）∣t＝τ（9-85）

离散化系统的输出方程仍然为

y（k）＝Cx（k）＋Du（k）

（3）定常离散系统动态方程的解

离散或离散化的状态方程的解法都是一样的。这里只介绍常用的递推方法，利用z变换的求解方法可以参考有关书籍。下面以解离散化状态方程为例说明。令式（9-84）中的k＝0，1，⋯，k－1可得到T，2T，⋯，kT时刻的状态，即

式（9-86）为离散的解，又称离散状态转移方程。当u（i）＝0，i＝0，1 k－1，有，⋯

x（k）＝Φkx（0）＝Φ（kT）x（0）＝Φ（k）x（0）

Φ（k）称为离散化系统状态转移矩阵。

输出方程为

对于离散状态方程式（9-82），其解为

例9-19 求下列连续状态方程的离散化状态方程，设T＝1s。

解由例9-14可得其状态转移矩阵Φ（t）为