基于灰色理论的时间序列预测方案

1.灰色理论和灰色预测

华中科技大学邓聚龙教授于1982年创立的灰色系统理论^[12]是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。它以“部分信息己知，部分信息未知”的“小样木”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，去了解、认识现实世界，从而实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效控制。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与间有关的灰色过程的预测。研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，灰色系统预测理论所建立的数学模型主要是GM（1，1）模型。它是一个近似的差分微分方程模型，具有微分、差分、指数兼容的性质。它将系统看成一个随时间变化而变化的函数，在建模时，不需要大量数据的支持，也不需要数据服从典型的概率分布就能够取得较好的预测效果，达到较高的拟合和预测精度。

灰色预测是基于灰色理论的预测方法。灰色理论认为，系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是杂乱的，但是它毕竟是有序的，具有整体功能的。因此，杂乱无章的数据背后，必然存在某些规律性。灰色预测理论将一切随机变量看做是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程看做是在一定范围内变化的，与时间有关的灰色过程。对灰色量不是从找统计规律的角度，通过大量样本进行研究，而是用数据处理的方法（灰色理论称为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律性强的生成数列再做研究。灰色预测利用连续灰色微分模型，可对系统的发展变化进行全面的观测分析，作出预测。

2.GM（1，1）定义型

灰色预测模型，一般均指GM（1，1）模型。GM（1，1）定义型的形式：

令x^（0）为GM（1，1）建模序列，

x^（0）=（x^（0）（1），x^（0）（2），…，x^（0）（n）），x^（0）（i）≥0，i=1，2，…，n

令x^（1）为x^（0）的AGO序列，

令z^（1）为x^（1）的均值（MEAN）序列，

z^（1）（k）=0.5x^（1）（k）+0.5x^（1）（k-1）

z^（1）=（z^（1）（2），z^（1）（3），…，z^（1）（n））

则GM（1，1）的定义型，即GM（1，1）的灰微分方程为

x^（0）（k）+az^（1）（k）=b

式中，x^（0）（k）为灰导数；a为发展系数；z^（1）（k）为白化背景值；b为灰作用量。(www.xing528.com)

如图6-24所示为GM（1，1）定义型的方框图。

3.GM（1，1）模型的建模步骤

图6-24 GM（1，1）定义型的方框图

设有原始数据序列：x^（0）={x^（0）（1），x^（0）（2），…，x^（0）（n）}，{x^（0）（i）≥0，i=1，2，…n}，利用该数据序列建立GM（1，1）模型的步骤如下。

1）对原始数据序列x（0）做一阶累加生成，得到累加生成序列x（1）={x^（1）（1），x（1）（2），…，x^（1）（n）}，其中x^（1）（1）=x^（0）（1），，m=2，3，…，n。

2）由一阶累加生成的序列x（1）建立GM（1，1）模型，可以得出灰微分方程x^（0）（k）+az^（1）（k）=b，{z^（1）（k）=0.5x^（1）（k）+0.5x^（1）（k-1），k=2，3，…，n}。由此可以得到对应的白化微分方程为，其中a为发展系数，b为灰色作用量。

3）求参数a、b。P为参数向量，P=[ab]^T可由最小二乘法确定，P=（B^TB）-1B^Ty_N，其中，。

4）初始条件下，得数据序列模型，（k=2，3，…，n），。

5）将k=2，3，…，n代入上面2个式子中，即可得到初始数据的拟合值；当k＞n时，便可得到灰色模型对未来的预测值。

4.GM（1，1）预测模型分析

建立在灰色系统理论基础上的灰色预测方法具有原理简单、所需样本少、不需考虑分布规律、计算方便、预测精度高和易于检验等优点，但是灰色预测方法也存在较大缺陷而使得灰色模型一般不宜用于中长期预测。文献已经证明了灰色模型参数与模型的适用性间有如下的关系：①当-a≤0.3时，GM（1，1）模型可用于中长期预测；②当0.3＜-a≤0.5时，GM（1，1）模型可用于短期预测，中长期预测慎用；③当0.5＜-a≤0.8时，用模型作短期预测应十分谨慎；④当0.8＜-a≤1时，应采用残差修正GM（1，1）模型；⑤当-a＞1时，不宜采用GM（1，1）模型。

GM（1，1）模型自产生以来受到了高度重视，已经成功应用于众多领域。但GM（1，1）模型的本质是通过对原始数据序列的累加生成，发现其指数增长规律，然后用最小二乘法求解模型参数，建立的齐次指数拟合模型，而实际数据累加后不仅仅只满足齐次指数模型增长趋势。另一方面，灰色预测GM（1，1）模型主要集中在单因素的范畴，针对系统的某一特征序列建立预测模型。而现实系统的因素是纷繁复杂的，系统中某一要素的变化发展必然要受到其他要素的影响，故当用GM（1，1）建模预测时，有时不能取得好的预测效果。在用GM（1，1）模型做长期预测时，有时还会出现无法接受的预测结论，甚至出现数据序列预测严重失真的情况，这在一定程度上反映了灰色预测模型的缺陷。