混沌时间序列预测理论及方法

自从17世纪牛顿建立经典力学以来，人们一直认为力学系统服从确定的规律。即当初始条件确定后，力学系统就将按确定的轨道运动，从而人们可以对系统的运动作出预言。即使遇到为难的三体问题或多体问题，人们仍然可以在经典力学的基础上创立摄动理论，解决计算中的一些困难，并据此预言了海王星和冥王星的存在。因此，人们认为即使是相互作用的多体，它们也在作规则的周期运动。

传统科学所定义的世界几乎具有柏拉图（Platon）式的纯净性。描述行星的运行、棒球的轨迹、或者遗传密码结构的方程和理论，都包含着规则和秩序，包含着一种钟表式的确定性。人们始终相信自然界是规则、和谐、有序的，自然现象的变化是周期的、重复的。这甚至成为一切科学的基础。科学家们总在寻找规则性。

英国哲学家怀特海（Whitehead）特别提到“周期性”这个概念，他说：“在我们的日常经验中，事物的一般重复现象是很明显的。日子、月相、一年的四季、心跳、呼吸等重复出现，绕行的星球也重复回到自己的老位置上去。我们在各方面都有重复的现象发生。没有重复现象就不可能有知识，因为在这种情形下就没有任何东西能根据以往的经验推断出来。同时，没有某些规律性的重复现象，也不可能有度量。当我们获得这一‘精确’观念后，重复现象在我们的经验中便成为基本的东西。”

然而，1963年美国气象学家洛仑兹（Lorenz）发现了大气变化的非周期性。他说：“描述元胞多流的简单系统可用数值方法求解。发现所用的解都是不稳定的，几乎所有的解都是非周期解。”洛仑兹发现，天气预报难就难在天气变化不是周期性的。非周期是混沌运动的根本特征，郝柏林用它来给混沌下定义，他说：“混沌绝不是简单的无序，而更像是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。”

混沌运动的非周期性这一发现触及了认识论的根本问题。这个问题不解决，混沌就可能成为不可知论抓住的最新例证。混沌是否可认识？ 一些科学家给出了否定的回答。1984年，微铎（Vidal）提出由于初始条件的敏感依赖性，“科学再次看到了自己的局限性”，因为敏感依赖性“使我们不能预见动力系统的未来，不管我们怎样努力”。

一些中外学者认为，混沌是不可认识的，是人类认识的又一条界线。但我们要强调，像周期性现象一样，非周期性现象、混沌现象也是可以认识的。证明混沌是可以认识的最有力的证据就是混沌研究的历史和混沌理论本身。

混沌理论把混沌描述为无序的，非周期的现象。自从科学家不懈地探索自然规律以来，无序、非周期性现象就一直被忽略。自然界中不规则的方面、不连续和不稳定的方面，一直是科学的难题，是无法理解的怪物。科学家常常把它们当作噪声或科学垃圾扔掉了。而混沌不同于噪声，有其自身的规律。这正是科学家所要研究的，这种研究开始于19世纪末[12]。

19世纪自然科学得到了空前的发展，为突破牛顿理论和迎接20世纪的物理学革命奠定了坚实的理论基础。

英国数学家哈密顿（Hamilton）的“哈密顿原理”，建立了与系统的总能量有关的哈密顿函数。根据哈密顿函数的数学形式，可以把动力学系统划分为可积的与不可积的两类。可积系统的典型行为是周期运动和准周期运动，牛顿理论实质上只是关于可积系统的理论。比可积系统更普遍的不可积系统，是牛顿理论一直未曾问津的陌生领域。到了庞加莱（Poincaré）时代，人们已经明白动力学系统一般是不可积的，混沌是不可积系统的典型行为。

最早对混沌研究作出贡献的是俄国女数学家卡瓦列夫斯卡娅（Kovalevskaya）。1889年，她在给动力学系统稳定性下定义时，提出了度量小偏差增长率平均值概念，这是朝混沌的独立理论迈出的第一步。俄国数学家李亚普诺夫（Lyapunov）是运动稳定性理论及其研究方法的奠基人。他不仅第一个给出了运动稳定性的科学定义，而且推广了卡瓦列夫斯卡娅的概念，使之成为现代描述混沌运动的重要特征量，被称为Lyapunov指数。这个指数是确定运动稳定性问题的关键。直到今天，它仍然是判断运动稳定性的基本方法。

这一时期，对混沌研究作出最大贡献的是法国科学家庞加莱，他是真正研究混沌现象的第一个人。他的著作《论微分方程所定义的积分曲线》、《天体力学的新方法》和《论三体问题和动力学方程》等，成为现代混沌研究中许多重要思想和方法的直接渊源。庞加莱为研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题创立了微分方程的定性理论。作为组合拓扑学的奠基人，庞加莱创立了用剖分研究流形的方法。他引进了许多拓扑不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了一些重要概念：同宿、异宿、分岔、极限环和庞加莱截面。如今，拓扑学已成为混沌研究者手中必不可少的利器。

庞加莱在研究天体力学中的三体问题时发现了混沌。庞加莱用拓扑学方法来研究三体问题，他力图解决描述三体问题的微分方程的周期解的存在性问题。正是在这个研究中，他发现了不可积系统的复杂性，发现了在双曲点附近存在着无限复杂的栅栏结构。从这里，庞加莱意识到：仅仅三体的引力的相互作用就能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解具有不可预见性。这就是我们现在所说的混沌现象。

庞加莱是一位具有哲学头脑的科学家，他对哲学一直怀有浓厚的兴趣。研究物理学的实践，使他更关心必然性与偶然性的联系。他反对拉普拉斯的决定论，强调偶然性在自然界和社会历史发展中的作用。他不同意偶然性是对我们无知的量度的说法，而认为“对于偶然发生的现象本身，通过概率运算给予我们的信息显然将是真实的，即使到这些现象被更充分地了解的那一天也不失其真”。对决定论的批判和对偶然性的客观性的承认，清除了混沌研究的思想障碍。更重要的是，庞加莱发现了某些系统对初始条件的敏感依赖性和行为的不可预见性。他显然比同时代的人更具远见卓识。

庞加莱向牛顿理论提出了挑战，他的研究本应该给物理学注入一股新的活力。然而却什么也没有发生，历史沿着另一个方向发展了。当时的物理学家普遍认为，物理大厦已经建成，并相当完善，除了两朵乌云以外，这里是晴空万里。在这两朵乌云之中并不包括庞加莱提出的难题，谁也没有觉察到，正是在这里，有一大片未开垦的处女地。

在庞加莱的混沌探索之后不久，德国物理学家普朗克（Planck）提出了量子理论。1905年，著名科学家爱因斯坦（Einstein）发表了论文《论动体的电动力学》，完整地提出了狭义相对论。相对论和量子力学的迅猛发展，吸引了绝大多数物理学家的注意力。庞加莱提出的问题更加受到冷落，极少有人去做进一步的研究。这没有什么值得大惊小怪的，甚至连庞加莱自己都放弃了这些想法，他说：“这些东西太稀奇古怪了，我没耐心仔细考虑他们。”在他生命的晚期，他也加入物理学家的行列，研究起了量子理论，而把混沌搁置一边。英国数学家斯图尔特（Stewart）说：“（庞加莱）注视过混沌的深渊，他辨别出潜藏在里面的几种形式；但深渊依旧昏暗，因而他把数学中某些最美丽的东西错认为怪物。”

尽管这样，庞加莱不愧为混沌探索的先驱，人们仍称他为混沌数学之父，庞加莱不仅创建了研究混沌的数学理论和方法，他还揭开了牛顿力学的新篇章，发现了天体力学全新的研究方向。现代动力学系统理论的几个重要组成部分，如稳定性理论、分岔理论、奇点理论以及吸引子理论等，都源于庞加莱的研究。庞加莱的这些贡献对20世纪的数学发展和混沌理论的建立有着广泛而深刻的影响。斯图尔特说：“庞加莱接触到了深处，但是他缺乏照明手段。要等到下一个时代，这个由庞加莱本人的微分方程定性理论武装起来的，再加上计算机及其他技术辅助的时代，才能使混沌的深处照到一些亮光，揭示其中蕴藏的美。但要是庞加莱未曾开辟通向深渊边缘的道路的话，他们是无法做到这一点的。”(www.xing528.com)

在直接继承庞加莱工作的极少数科学家中，首先必须提到的是美国数学家伯克霍夫（Birkhoff），他最重要的工作是关于动力学系统的理论。1912年，庞加莱去世前把限制性三体问题归结为一个几何问题，但除特殊情况外，未能加以证明。伯克霍夫证明了这个定理（1913年），他还引进了动力学系统的运动极小集、回归集等概念，证明其存在性，开辟了动力学系统研究的时代。尤其令混沌研究者感兴趣的是伯克霍夫在用几何方法研究天体力学中的稳定性问题时，发现了今天称作奇异吸引子的东西。他把它叫做奇怪曲线，它第一次出现在伯克霍夫1916年的著作中。令人遗憾的是，伯克霍夫的工作长期鲜为人知，他所受到的冷遇较庞加莱更厉害。

数学领域中另一项有意义的探索是，发现了一批分形几何对象，如魏尔斯特拉斯的处处连续又处处不可微的曲线、皮亚诺的可以填满整个平面的曲线、康托尔尘埃等。这些使数学家感到惊慌、烦恼的几何对象，被当作“病态”现象，排除在数学研究之外。20世纪20年代，法国数学家尤利亚（Julia）研究复平面上的函数迭代，这是一种特殊类型的混沌运动，可以从中导出一大批美丽的分形图像。直到这时，原来被看做没有数学意义的对象，现在成为数学家研究的问题，这是数学研究的又一转折。尤利亚和法图的工作对数学家芒德勃罗（Mandelbrot）创立分形几何是很有启发和帮助的。

20世纪20年代，科学家把庞加莱的拓扑动力学思想应用于耗散系统，1912年得到杜分方程，1927年得到范德波尔方程，这方面的工作都以电工技术为背景。这两个方程在今天的混沌学文献中会经常看到。在生态学领域，经过几代人的努力，提炼出Logistic方程，它是描述种群演化的适当模型，可用来解释所观察到的一些不规则的生态系统的演化现象。

人们不仅有了探索混沌的数学理论，而且有了可以进行具体分析的数学模型。人们对这些模型做过认真的研究，但并未分析这些模型所产生的混沌现象。杜分方程和范德波尔方程都有混沌解。但导致混沌解的参数值被绕开了。数学生态学家梅（May）指出，Logistic映射的更高的参数值，在生物学和经济学文献中没有报道过。然而，这些模型对混沌研究是很有意义的，它们在认识混沌行为和揭示混沌规律方面都发挥过重要作用，特别是Logistic方程。

从庞加莱开始的关于混沌的早期探索，时而前进，时而停顿，且往往是孤军奋战，得不到同行的响应。混沌探索的这段艰辛历程表明：混沌系统确实非常复杂，是难以认识、难以把握的；也表明混沌系统是非常新的研究对象，需要创立新的数学理论、新的研究方法，更需要冲破传统观念的束缚。然而，科学家凭着自己的智慧和毅力还是走过来了。

经过半个多世纪的准备，科学家自觉或不自觉地受宠加莱等人的影响。另一方面，混沌现象越来越多地出现在不同领域的学者面前，越来越多的问题也到了非用混沌方法不能解决的地步。这时混沌研究得到了进一步的发展。

20世纪50～60年代为混沌理论发展初期，大量混沌现象被发现并引起研究重视[12，13]。1963年，美国科学家洛仑兹将气象变化的数据绘制到相空间图上，无规则变化的数据点形成一个不完全自我重复、轨迹永不相交但却是永不停止转动的蝴蝶形象的双螺旋线，即Lorenz“吸引子”，他称为“决定性的非周期流”。这是在耗散系统中，由确定性系统导出混沌解的第一个实例，打破了拉普拉斯决定论的经典理论。随后，法国天文学家伊侬（Henon）在Lorenz“吸引子”启发下，提出了Henon映射方程。在一定参数范围内，该方程运动轨迹在相空间中的分布由确定演化成随机状态。Henon得到了一个最简单的吸引子，并用它建立的“热引力崩塌”理论解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系稳定性问题。

20世纪70年代为快速发展期[14，15]。混沌、奇异吸引子等混沌概念被提出，倍周期分岔等混沌现象被发现。1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克（Yorke）在《America Mathematics Monthly》杂志上发表文章《Period three implies chaos》，首次提出混沌概念，深刻揭示了系统运动从有序到无序混沌的演变过程，这就是著名的Li-Yorke定理。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开标志着混沌科学的正式诞生。1978年，费根鲍姆（Feigenbaum）对Logistic方程倍周期分岔过程的研究发现前后分岔间距的比值趋向于一个常数δ=4.669201，即Feigenbaum常数，从而建立了一维映射混沌现象的普适理论。费根鲍姆给出了通过作尺度变换走向混沌，即有序走向无序的具体道路，混沌学研究也从定性分析推进到了定量计算阶段。

20世纪80年代为定量分析发展阶段，系统如何从有序进入新的混沌以及混沌的性质和特点成为研究热点[16，17]。1980年，美籍法国数学家芒德勃罗（Mandelbrot）用计算机绘出了第一张五彩缤纷的混沌图像，Mandelbrot集已被公认为是混沌的一种标志。对于这种动力学特性的结构，格拉斯伯格（Grassberger）等人提出重构动力系统的理论方法，通过从时间序列中提取分数维、Lyapunov指数、Kolmogorov熵等混沌特征量，使混沌理论进入到实际应用阶段。一般认为，最大Lyapunov指数表明系统邻近轨道的辐散或辐合程度，如果是正数，表明系统混沌。而Kolmogorov熵是能给系统的不确定程度以某种整体度量的量，有序系统熵为零，随机系统熵为无穷，而熵介于零与无穷大之间的系统，便是混沌系统。这一时期，我国的混沌研究起步并迅速发展，1984年，中国著名科学家郝柏林院士编辑了《混沌》一书，为混沌科学的发展起到了一定的推动作用。1986年，中国第一届混沌会议在桂林召开。1992年以后，由郝柏林院士任主编、郑伟谋和吴智仁任副主编的非线性科学系列丛书的出版，大大推进了我国混沌理论和应用研究的发展。

20世纪90年代至今，混沌研究的特点表现为和其他科学的相互渗透[18]。无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。

到今天，经过科学家几十年的辛勤探索、研究，混沌理论已经揭示了混沌的一些基本特征，提供了描述不规则形状的几何方法。于是人们开始认识和理解天气变化的特征，太阳系中一些奇怪的现象，种群涨落的规律，人体的复杂结构。特别是人们初步明白了湍流发生的机制。总之，混沌理论使非线性的复杂形态日益成为可以理解的东西。科学家和哲学家甚至开始思考混沌的哲学意义。

与以往任何一种科学理论的创建不同，混沌理论是不同领域的科学家共同努力的结果。帕西瓦尔说：“混沌科学像一条河，它是由许多支流汇合而成的。它发源于一切科学：数学、物理、化学、工程、医学和生物学、气象学、天文学、流体的研究、电路的研究，严格的定理证明和计算机实验。”反过来，混沌理论建立以后，它对现代科学的影响几乎触及一切科学领域。凡涉及动力学系统的领域，用新的眼光审视，都会发现混沌行为，都需要应用混沌研究的成果。混沌理论正在悄悄地接近每一门科学。

像任何一种科学理论一样，混沌理论一旦建立就立刻成为人类进一步认识自然的手段。天文学家现在用混沌模型模拟早期宇宙的脉动，模拟恒星、行星、卫星和彗星的运动。物理学家正试图用混沌理论解决基本研究中遇到的问题。生物学家也把昆虫、鸟群的变化，传染病的蔓延，细胞的新陈代谢，刺激沿神经的传送等看成混沌问题。甚至有人企图用混沌理论来解释人的思维、诗歌的创作、生命的起源和演化、股票价格的起伏等。

所有这一切都说明混沌是可以认识的。承认混沌可以认识正是混沌研究的前提。短短二三十年间，混沌研究已取得丰硕的成果，并正在形成全新的科学体系。如果认为混沌越出了人类理解的范围，是不可认识的，那么这一切就是不可想象的。混沌理论的形成和发展本身就回答了混沌可认识的问题。