渐开线齿轮传动滑动率的优化方案

经理论分析与实验结果表明，齿轮齿廓间的相对滑动越严重，其齿面的磨损也就越严重，也越易产生胶合损坏。因此，为提高齿轮的抗胶合和耐磨损能力，就必须进一步研究齿面间的相对滑动情况及其改善途径。

如图5-4所示，齿轮的一对轮齿在K点啮合时，两轮齿在啮合点的线速度v_K1和v_K2的大小和方向都不相同。为了保持其高副接触，两齿廓在啮合点K的公法线方向的速度v_n应该相等，否则，两齿廓将脱离接触或相互嵌入。因而，在啮合点K处，齿廓切线方向的速度v_t1和v_t2的大小就必然不等，也就是说，轮齿在啮合过程中，两齿面间存在着滑动速度v₂₁（=v_t2-v_t1）。

图5-4 滑动率的计算图

通常，用滑动率表示齿面间相对滑动的程度。滑动率，就是在轮齿间接触点K处，两齿面间的相对切向速度（即滑动速度）与该点切向速度的比值，用_η表示，即

小齿轮齿面的滑动率_η1为

大齿轮齿面的滑动率_η2为

很显然，当轮齿在某一点啮合时，其齿面间的滑动速度v₂₁（=v_t2-v_t1）与v_t2（=v_t1^-vt2）的数值相同而方向相反，因此，该点的滑动率η₁与η₂的符号也就不同了。下面就讨论滑动率数值的计算。

1.外啮合齿轮传动滑动率的计算

由式（5-8）及式（5-8′）知，为了求得滑动率必须求出切向速度v_t1及v_t2（见图5-4），即

两齿面在K点的相对滑动速度v₂₁为

因，即，则

设ω₁/ω₂=z₂/z₁=u，称为齿数比，则有

同理

由式（5-10）及式（5-10′）可知，滑动率η₁及η₂为啮合点K的位置函数，其值随K点位置的变化而变化。

当轮齿在极限啮合点N₁啮合时，有

当轮齿在节点P啮合时，有

当轮齿在极限啮合点N₂啮合时，有

根据上述分析，按式（5-10）及式（5-10′）可以作出如图5-5所示的滑动率变化曲线，其纵坐标为滑动率η，横坐标为啮合线。对该曲线分析后可得如下结论：

①滑动率η是啮合点位置的函数，其值在0～∞之间变化。

②轮齿在节点P啮合时，η₁=η₂=0，在节点两侧的不同点啮合时，由于滑动速度方向的改变，而使滑动率符号改变。

③轮齿若在极限点N₁或N₂啮合时，η1或η2将分别达到∞，造成轮齿的严重磨损，故应避免轮齿在极限点啮合。

④实际上，轮齿只能在实际啮合线B₁B₂上啮合。在B₂点啮合时，齿轮1齿根的滑动率η₁达到实际的最大值η_1max；在B₁点啮合时，齿轮2齿根的滑动率达到实际的最大值η_2max。

图5-5 外啮合齿轮滑动率曲线

下面讨论实际的最大滑动率η_1max和η_2max的计算。图5-6表示一对轮齿在B₂点啮合时的情况，此时，齿轮1齿根的滑动率达到最大值η_1max。由于在B₂点啮合，故式（5-10）中应为，应为，则

则

若轮齿在B₁点啮合，齿轮2齿根的滑动率达到最大值η_2max。同理可求出其值为

轮齿在不同点啮合时，其滑动率的数值是不同的，在以后的讨论中，若不加特别说明，而讲滑动率η₁或η₂的具体数值时，均指最大滑动率η_1max或η_2max。

还应当指出，在相同的工作时间内，大小齿轮参与啮合的次数是不同的。大齿轮2的齿廓参与啮合的次数仅为小齿轮1的齿廓参与啮合次数的1/u倍，所以，在连续工作过程中，大齿轮齿廓的磨损系数应为滑动率的1/u倍。

图5-6 最大滑动率的计算图

2.内啮合齿轮传动滑动率的计算

图5-7a为一对内啮合齿轮传动在K点啮合时的情况，根据滑动率的定义及式（5-8）、式（5-9）及式（5-10）的推导，则有

则

从式（5-13）可知，内啮合齿轮传动的滑动率仍然是啮合点位置的函数，与外啮合相类似。在节点P啮合时，η₁=η₂=0；在极限点N₁啮合时，η₁=∞。若以啮合线为横坐标，可作出如图5-7b所示的内啮合齿轮传动的滑动率曲线。(www.xing528.com)

3.滑动率的调节

（1）滑动率的许用值 滑动率的大小不仅影响齿轮齿面的磨损，而且影响齿面的胶合损坏，因此，为提高齿轮的抗胶合和耐磨损能力，应尽量减少滑动率η的数值。

图5-7 内啮合齿轮传动的滑动率

经验表明，齿轮齿廓的滑动率不应大于下列表5-4中数值。

表5-4 滑动率η_max的许用值

（2）滑动率的调整方法及实例 齿轮齿廓的实际滑动率如图5-5及图5-7b曲线所示。从图中可以看出，轮齿齿根部的滑动率大于齿顶上，而且小齿轮的齿根处B₂点的滑动率大于大齿轮在B₁点的滑动率。若一对啮合齿轮的齿数差越大时，即齿数比u越大时，B₂点就越接近于N₁点，则η_1max值就越大，以致可能超过上述的许用值。为了满足工业生产的要求，必须设法减小η_1max值。较简便的方法是，改变实际啮合线与理论啮合线的相对位置，即增大B₂点至N1点间的距离，就可以减小η_1max值，同时η_2max将会有所增加，从而可以调节到η_1max=η_2max。这可以利用变位齿轮来实现。

为保证齿轮传动的中心距不变时，即理论啮合线不变时，若减小大齿轮z₂的变位系数x₂，以减小其齿顶圆直径，可以增大B₂点到N₁点的距离，即减小η_1max；增大小齿轮z₁的变位系数x₁，以增大其齿顶圆直径，可以使B₁点向N₂方向移动（对外啮合），使η_2max增大，这样就可以调节到η_1max=η_2max。以下就以一对外啮合齿轮传动为例，研究如何减小η_1max，并使η_1max=η_2max。

【例5-2】已知一对外啮合齿轮传动，z₁=15，z₂=42，h_a*=1，α=20°，试求出该对齿轮的最大滑动率η₁及η₂，并利用变位齿轮调节两滑动率的数值，并使其接近相等。

解 1）两齿轮为标准齿轮时的η_1max及η_2max。η_1max可按式（5-11）计算，η2max可按式（5-12）计算，为此，必须先求出两齿轮的齿顶压力角α_a1及α_a2，设两齿轮的模数为m，则

d_a1=mz₁+2h^*_am=17m，d_b1=mz₁cosα=15mcos20°

d_a2=mz₂+2h^*_am=44m，d_b2=mz₂cosα=42mcos20°

α_a1=arccos（d_b1/d_a1）=33.989°

α_a2=arccos（d_b2/d_a2）=26.236°标准齿轮传动的啮合角α′=α=20°，齿数比u=z₂/z₁=42/15，则

从计算结果可以看出，η_1max远远超过了许用值，而相当于η_2max的94倍，因而必须设法降低η_1max。

2）利用高度变位齿轮降低η_1max。根据封闭图，应用滑动率相等原理，初选取变位系数x₁=0.32、x₂=-0.32，则为高度变位齿轮传动，其啮合角α′=α=20°，变位齿轮的基圆和分度圆，而齿顶圆有所变动，设模数为m，则齿顶圆直径为

d_a1=d₁+2（h^*_a+x₁）m=m（z₁+2h^*_a+2x₁）=17.64m

d_a2=d₂+2（h^*_a+x₂）m=m（z₂+2h^*_a+2x₂）=43.36m

此时η_1max比标准齿轮时减小近50倍，仅比η_2max大0.828。然而，η_2max略有增加。

3）利用角度变位进一步降低η_1max及η_2max。如果该对齿轮的节圆圆周速度v_p>20m/s时，希望η_max<1.5，为此，还可以利用角度变位来达到这一要求。

查封闭图，若取变位系数x₁=0.65、x₂=0.92，可以求出其啮合角α′为

则 α′=26.25°

中心距变动系数

齿顶高变动系数Δy=xΣ-y=x₁+x₂-y=0.2094

齿顶圆直径d_a1及d_a2为

d_a1=d₁+2（h^*_a+x₁-Δy）m=17.8812m

d_a2=d₂+2（h^*_a+x₂-Δy）m=45.4212m

此时，η_1max^及η2max均小于1.5，可以满足此高速传动的要求，而且η_1max与η_2max仅差0.043。可见，只要适当地选择变位系数x₁及x₂，可使两齿轮的最大滑动率接近或相等，即使η_1max=η_2max。

（3）等滑动率曲线及其特点 由式（5-11）和式（5-12）知，当η_1max=η_2max时，则

此即为等滑动率方程式。式中齿顶压力角α_a1、α_a2为齿数z₁、z₂和变位系数x₁、x₂的函数。当给定齿轮副的齿数z₁、z₂后，选定某一啮合角α′的数值，利用无侧隙啮合方程式求得总变位系数xΣ为

将该式与式（5-14）联立解，可求得给定啮合角α′时的最大滑动率相等的变位系数x₁及x₂。只要改变啮合角α′的数值（即改变xΣ），即可利用上述公式求出不同啮合角α′时的最大滑动率相等的变位系数x₁及x₂。这样，就可作出如图5-8的最大滑动率相等的曲线，简称等滑动率曲线或称η₁=η₂曲线。

现进一步讨论等滑动率曲线的特点。

在图5-9中，绘出了齿数比u=2，而小齿轮齿数z₁各不相同时的等滑动率曲线，其中曲线①为z₁=12、z₂=24的η₁=η₂曲线；曲线②为z₁=25、z₂=50时的η1=η2曲线……。可以看出，虽然z₁的具体数值各不相同，甚至相差很大（如z₁=12与z₂=42就差别很大），但只要齿数比u相同（该图中u=2），各η₁=η2曲线的基本形状、斜率和截距（见图5-9中的a₁、a₂…）都相差甚小。

在图5-10中，绘出了z₁=17，而齿数比u不同时的等滑动率曲线。其中，曲线①为z₁=z₂=17的η₁=η₂曲线（u=1）；曲线②为z₁=17、z₂=25时的η₁=η₂曲线（u=1.47）；曲线③为z₁=17、z₂=31时的η₁=η₂曲线（u=1.82）……。可以看出，各条曲线的斜率相差很大，曲线①的截距a₁=0，曲线②、③、④的截距a₂、a₃、a₄也都相差甚大。

图5-8 等滑动率曲线

图5-9 齿数比u=2时的η₁=η₂曲线

图5-10 z₁=17时的η₁=η₂曲线

由此可知：尽管等滑动率曲线的基本形状随着齿轮副的齿数z₁、z₂和齿数比u的变化而变化，但其基本斜率主要取决于齿数比u的大小，u越大，斜率就越大。这是等滑动率曲线的一大特点。