如何计算刚性转子的平衡？

在转子的设计阶段，尤其是在对高速转子及精密转子进行结构设计时，除应保证其满足工作要求及制造工艺要求外，必须对其进行平衡计算，以检查其惯性力和惯性力矩是否平衡。若不平衡，还应在结构上采取相应措施，以消除或减少产生有害振动的不平衡惯性力和惯性力矩的影响。现根据径宽比的大小，将组成刚性转子各质量的不同分布分两种情况进行分析。

1.静平衡计算

对于径宽比D/b≥5的转子，如砂轮、飞轮、齿轮、带轮等构件，由于其轴向尺寸较小，故可近似地认为其不平衡质量分布在同一回转平面内。在这种情况下，若转子的质心不在其回转轴线上，当转子转动时，偏心质量就会产生离心惯性力，从而在运动副中引起附加动压力。为了消除离心惯性力的影响，设计时应首先根据转子结构确定各偏心质量的大小和方位，然后计算出为平衡偏心质量需添加的平衡质量的大小和方位，以便使设计出来的转子在理论上达到平衡。

如图13－10（a）所示为一盘形转子，已知分布于同一回转平面内的偏心质量分别为m1、m2和m3，从回转中心到各偏心质量中心的矢径分别为r1、r2和r3。当转子以等角速度ω转动时，各偏心质量所产生的离心惯性力分别为F1、F2和F3。为了平衡上述离心惯性力，可在此平面内增加一个平衡质量mb，从回转中心到该平衡质量的矢径记为rb，其产生的离心惯性力为Fb。要使转子达到平衡，根据平面汇交力系平衡的条件，Fb、F1、F2和F3所形成的合力F应为零，即

若转子的总质量和总质心的矢径分别为m和e，则消去ω2后可得

图13－10　刚性转子的静平衡计算

式（13－17）中，质量与矢径的乘积称为质径积，它表示在同一转速下转子上各离心惯性力的相对大小和方位。从上式可以看出，转子平衡后，其总质心将与其回转中心重合，即e＝0。

在转子的设计阶段，若各偏心质量的大小mi和方位ri均已知，则由式（13－17）即可求出需增加的平衡质量的质径积mbrb。

由上述分析可得如下结论：

（1）刚性转子静平衡的条件　转子上各个偏心质量的离心惯性力的合力为零或质径积的矢量和为零。

（2）对于静不平衡的刚性转子，无论其有多少偏心质量，均只需要适当地增加一个平衡质量即可达到静平衡。即对于静不平衡的刚性转子，所需增加的平衡质量的最少数目为1。

如图13－10（b）所示为采用图解法求mbrb。当求出平衡质量的质径积mbrb后，可以根据转子结构的特点来选则rb，所需的平衡质量大小也就随之确定，安装方向与rb所指的方向一致。一般情况下，应尽可能将rb选大些，这样可使设计出来的转子质量mb不致过大。若转子的实际结构不允许在矢径rb的方向上安装平衡质量，也可以在矢径rb的相反方向上去掉相应三维质量来使转子得到平衡。特别注意的是：若在所需平衡的回转面内，实际结构不允许安装或减少平衡质量，则可在另外两个回转平面内分别安装相应的平衡质量，以使转子达到平衡。

2.动平衡计算

对于径宽比D/b＜5的转子，如多缸发动机的曲柄、电动机转子等，由于其轴向宽度较大，其质量分布在几个不同的回转平面内。此时，即使转子的质心在回转轴线上，但由于各偏心质量所产生的离心惯性力不在同一回转平面内，所形成的惯性力偶仍使转子处于不平衡状态。为了消除刚性转子的不平衡现象，设计时应首先根据转子的结构确定各个回转平面内偏心质量的大小和方位，然后计算所需增加的平衡质量的数目、大小及方位，以使设计出来的转子理论上达到平衡。

如图13－11（a）、（b）所示为一电机转子及其质量分布简图，设转子的偏心质量m1、m2和m3分别位于不同的回转平面1、2、3内，其质心的矢径分别为r1、r2、r3。如果在转子任选两个垂直转子回转轴线的平面T'、T″，并设T'与T″相距l，平面1到平面T'、T″的距离分别为，将各偏心质量分别用两平衡基面内的两个质量等效代替，且使各替代质量在平衡基面内的向径与原来所在的平面相同。在平衡基面内的替代质量可根据平行力合成与分解的原理推得为

图13－11　刚性转子的动平衡计算

（a）、（b）电机转子偏心质量分布　（c）平面T′内的质径积矢量多边形（d）平面T″内的质径积矢量多边形

上述分析表明，平面1、2、3上的偏心质量 m1、m2、m3完全可以用平面 T'、T″上的和和和所代替，它们所产生的不平衡效果是一样的。因此，刚性转子的动平衡设计问题就等同于T'、T″内的静平衡设计问题。

对于平面 T'和 T″，由式（13－17）可得

采用解析法或图解法，均可解出和的大小及方位。图13－11（c）、（d）分别为采用图解法求出质径积和的过程。适当选定和的大小，即可分别求得平面T'、T″内应加的平衡质量和的大小。此时，原平面1、2、3内的偏心质量m1、m2、m3就可以被平面T'、T″内的平衡质量和所平衡。一般情况下，将用以校正不平衡质径积的垂直于转子轴线的平面T'、T″称为平衡平面或校正平面。

由上述分析可得如下结论：(www.xing528.com)

（1）刚性转子动平衡的条件　转子上分布在不同平面内的各偏心质量所产生的空间离心惯性力系的合力及合力矩均为零。

（2）对于动不平衡的刚性转子，无论它有多少个偏心质量，均只需要在任选的两个平衡平面内各增加或减少相应的平衡质量，即可使转子达到动平衡。即对于动不平衡的刚性转子，需要增加的平衡质量的最少数目为2。因此，动不平衡又称为双面平衡，而静平衡则称为单面平衡。

（3）由于动平衡同时满足静平衡条件，所以经过动平衡设计的转子一定是静平衡的；反之，经过静平衡设计的转子则不一定是动平衡的。

例13－2　如图13－12所示为一装有皮带轮的滚筒轴。已知：皮带轮上有一不平衡质量m1＝0.5kg，滚筒上具有三个偏心质量 m2＝m3＝m4＝0.4kg，各偏心质量的分布如图 13－12 所示，且 r1＝80mm，r2＝r3＝r4＝100mm，试对该滚筒轴进行平衡计算。

图13－12　滚筒轴的动平衡计算

解　（1）依题意可知，各个不平衡质量的分布不在同一回转平面内，因此应对其进行动平衡计算。为了使滚筒轴达到动平衡，必须任选两个平衡平面并在两个平衡平面内各加一合适的平衡质量。本题中，可以选择滚筒轴的两个端面T'、T″作为平衡平面。

（2）根据平行力的合成与分解原理，将各偏心质量m1、m2、m3m1、m4分别分解到两平衡平面内。根据公式（13－18），在平面T'内

同理，在平面 T″内

（3）计算各不平衡质量质径积的大小

（4）确定平衡平面T'、T″内，平衡质量的质径积和的大小及方向。

由于各偏心质量在平衡平面的方位角分别为

对平面T'：

取比例尺μ＝1kg·mm/mm，作出质径矢量多边形如图13－13（a）所示，测量可得：

同理，对平面T″

作出质径矢量多边形如图13－13（b）所示，测量可得

图13－13　质径矢量多边形

（5）确定平衡质量的矢径和的大小，并计算平衡质量和。

不妨取＝100mm，则平衡平面 T'、T″内应增加的平衡质量分别为

由上述平衡方程式计算出平衡质量的方位均为增加质量时的方位，如需去除质量，则应在所求方位角上加上180°。

应当指出，由于m1位于平衡平面T'、T″的左侧，其产生的离心惯性力F1分解到T'、T″内时与 F1同向，而与 F1反向，故