矩形截面梁的设计与分析

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1.切应力分布假设

如图6.11(a)所示,矩形截面梁横截面上的剪力FS与截面对称轴轴y重合,根据切应力互等定理可知,在横截面的两侧边缘,切应力的方向一定平行于截面侧边。如果横截面为狭长矩形,那么可以认为,沿截面宽度各点切应力也平行于侧边,而且切应力的大小变化不大。根据以上分析,对截面上的切应力分布规律作如下两个假设:

(1)横截面上各点处的切应力方向均平行于截面侧边,即的方向与FS相同;

(2)切应力沿截面宽度均匀分布,即距中性轴等远的各点处的大小相等。

根据进一步研究可知,当横截面高度h大于其宽度b时,由上述假设所建立的切应力公式是足够准确的。有了以上这两个假设,将使切应力的计算大为简化,仅通过静力平等条件,就可以推导出切应力的计算公式。

2.切应力公式推导

矩形截面简支梁如图6.11(a)所示,分析截面m—n上距中性轴为y的水平线pq上的切应力y的计算公式,如图6.11(b)所示。

用相距dx的横截面m—n和m1—n1从梁中截取一微段dx,设在该微段上无横向外力作用,则左右两横截面上剪力相等,均为FS,但弯矩不同,m—n截面上的弯矩为M,m1—n1截面上的弯矩为M+dM,如图6.11(c)所示。相应的两截面上的y相等,而正应力不同,同一y坐标处m1—n1截面上的正应力σ2大于m—n截面上的正应力σ1。

图6.11　弯曲切应力公式推导

由于直接推导距中性轴为y的pq线上各点处切应力y比较困难,因为采用间接办法,沿pq线再用一个纵截面将微段切开,取脱离体,如图6.11(b)所示。根据切应力互等定理可知,脱离体顶面上也一定有切应力y′,并且y′=y,只要求得y′即可。

切应力y′可通过脱离体上各力的平衡关系求得,设脱离体左右侧横截面均为A*,其正应力分别是σ1和σ2,相应合成法向内力为FN1、FN2,在其顶面上的水平切应力y′,合成水平剪力dT,考虑脱离体的平衡,即(www.xing528.com)

式(a)中,法向内力分别为

根据切应力互等定理和沿截面宽度均匀分布假设可知y′=y,而且y′沿截面宽度也是均匀分布的,所以

将本例中的(b)式、(c)式和(d)式代入(a)式,得

式中:FS为横截面上的剪力;Iz为整个横截面对中性轴z的惯性矩;b为横截面在所求切应力处的宽度;为所求切应力处横线一侧部分面积A*对中性轴z的静距。

3.切应力沿截面高度的变化规律

对矩形截面梁的某一横截面来说,式(6.12)中的FS、Iz、b均为常量,只有静矩S*z随着所求应力点到中性轴的距离y而变化,如图6.12(a)所示,面积A*对中性轴的静矩为

图6.12　矩形截面梁的弯曲切应力分布