模糊聚类算法：简介与优化

设有n个样本，记为，要将它们分成m类，这一过程相当于求一个划分矩阵，其中

矩阵A称作样本集U的一个划分，显然不同的A对应样本集U上不同的划分，不同的A会给出了不同的分类结果。把对样本集U的所有划分称作U的划分空间，记为M。这样聚类过程就是从样本集U的划分空间M中找出最佳划分矩阵的过程。

在实际问题中，确定样本归属的问题存在一定的模糊性，因此分类矩阵一般是一个模糊矩阵，即满足以下条件：

（1）aij[0，1]，它表示样本U属于第i类的隶属度。

（2）A中每列元素之和为1，即一个样本对各类的隶属度之和为1。

（3）A中每行元素之和大于0，即表示每类不为空集。

以模糊矩阵A对样本集U进行分类的过程称作软分类。为了得到合理的软分类，定义聚类准则如下：

式中：A为软分类矩阵；V表示聚类中心；m为类别数；n为样本数，表示样本Uj到第i类的聚类中心Vi的距离（如欧氏距离等等）；b为权系数，b值越大，分类越模糊，一般情况下b≥1，当b=1时就是硬分类。(www.xing528.com)

在聚类准则最优的情况下，可以求得软划分矩阵和聚类中心，当b>1和Uk≠Vi时，可用下面的公式求aij和Vi：

具体计算步骤如下：

第一步：给出初始划分A；

第二步：按照（10-2）式计算聚类中心Vi（i=1，2，…，m）。

第三步：根据Vi和（10-1）式计算出新的分类矩阵A*。

第四步：如果小于某一阈值，则A*和V即为所求。否则转到第二步，继续进行迭代处理。

第五步：以模糊矩阵A*为基础对样本集U中的样本进行分类。方法之一就是将分到A*的第j列中数值最大的元素所对应的类别中去。