模糊聚类算法：基于模糊相似矩阵的温度测点分类

对于热误差建模，模糊聚类是最常用的温度测点分类算法。

对事物的类别分析是对事物进行统计分析的前提，而类别分析本身也是一种有效的统计方法。人们总是希望被研究的对象具有严格的类别与属性，便于我们能够对事物的客观属性进行精确的类别分析。但是事实并非如此，大多数研究的对象并不具有严格非此即彼的属性，无法进行硬性归类。在很多时候，各类别之间的特征差异也不是十分明显。模糊集合理论的提出有效地解决了这一问题，模糊理论是一门专门研究不具备非此即彼类别属性的集合，可以通过一定的指定隶属度对模糊集合进行合理划分。

聚类分析是一种专门用于对研究样本内各个对象之间某种属性的相似程度进行分类的方法，能够根据各个被分类对象之间的相似程度，将各个对象分为若干簇，其中相似程度比较高的对象构成一簇，对样本的整个分类过程就是对研究对象进行聚类的过程。简单地说聚类就是分类，用于将所有研究对象以某一特定的准则和规律进行类别划分。

模糊聚类就是用模糊数学的理论去研究聚类问题，根据模糊理论的计算方法提炼出被研究对象之间隐含的内在规律，然后按照这个内在规律对研究对象进行分类。而被研究对象通常具有比较繁多的内涵表达和属性，研究人员必须将所有的内在规律、研究背景和实际要求相结合，根据研究过程需要，合理地选择某一规律对研究对象进行分类。相似性是连接同类别物体之间的桥梁，对研究样本各个对象之间相似性的计算是对其进行模糊聚类的前提，而相似性的计算方法很多，但其最终目的都是根据一定的过程得到相似性的具体相似系数，然后进行归类。

模糊聚类具体步骤如下：

依据各温度测点之间的相关程度，用统计方法定量温度测点之间的模糊关系，对温度变量进行分类。通俗地说，即将温度测点之间模糊关系大于某一阈值的归为一类。为了运算直观简单，一般将模糊关系转化为模糊矩阵，用模糊矩阵进行模糊聚类分析，其步骤如下：

①构造模糊相似矩阵。采用相关系数法建立温度测点模糊相似矩阵R=[ri，j]m×m，其中m 表示有m 个温度测点，ri，j表示第i 和第j 个温度测点之间的相关系数绝对值，计算方法见式（5-6）。

比如，若有10 个温度测点T1 ～T10，建立的模糊相似矩阵如图5-4 所示。

图5-4　模糊相似矩阵示意图

如图5-4 所示，模糊相似矩阵的每一个元素都是当前行和列对应两温度测点之间的相关系数绝对值，是一个介于0 ～1 的数字，组成一个对称矩阵，并且对角线的元素一定是1。除了相关系数，也可以根据需求采用别的方法来衡量变量之间的相关性，并将其变换为0 ～1 的值。

但模糊相似矩阵并不能用于聚类，因为不具备模糊关系的传递性，将图5-4 显示的模糊相似矩阵聚焦到T1 ～T4，如图5-5 所示。

图5-5　模糊相似不具备传递性示意图

如图5-5 所示，分别用F（T2，T4）、F（T3，T4）、F（T2，T3）表示T2，T4、T3，T4、T2，T3 温度测点之间的模糊相似值，如下：

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对于式（5-10），如果给定阈值为0.999 0，则F（T2，T4）和F（T3，T4）均大于阈值，即认为T2 和T4 应该被分为一组，同时T3 和T4 也应该被分为一组。但是F（T2，T3）小于阈值，不应该属于同一组，因此引发问题，T4 到底应该和谁一组？

造成这种问题的原因即模糊相似矩阵不具备传递性，模糊关系的传递性定义如下：

若元素A，B 和元素A，C 之间的模糊关系均大于阈值，则元素B，C 之间的模糊关系一定大于阈值。

②建立模糊等价矩阵。模糊等价矩阵即对模糊相似矩阵进行处理，使其具有传递性。

根据模糊关系传递性的定义，对于元素A，B，若能找到一个元素C，使元素A，B 和元素A，C 之间的模糊关系的最小值也大于A，B 元素当前的模糊关系，则将此最小值作为新的A，B 元素模糊关系。即

对于温度测点Ti 和Tj，若有温度测点Tk，

使得F（Ti，Tk） > F（Ti，Tj），且F（Tj，Tk） > F（Ti，Tj），则F（Ti，Tj） =min（F（Ti，Tk），F（Tj，Tk））。

对于图5-4 所示温度测点建立的模糊相似矩阵，每两个元素之间的模糊关系均可以通过所有其他温度测点介入重新赋值。直到找到一个使模糊关系达到最大的中间介入变量，即

在式（5-11）中，N 表示温度测点个数。据此，采用平方法即可将模糊相似矩阵R 构造成模糊等价矩阵t（R），见式（5-12）。

经过有限次运算后，会发现R2v =R2（v+1），此时取t（R） =R2v为所求的模糊等价矩阵，其中包含用于传感器分类判别的元素Λ。

注意，式（5-12）中的矩阵平方运算采用的是模糊加“∪”和模糊乘“∩”，其中：

③从模糊等价矩阵t（R）中提取Λ 对温度变量进行分类，将矩阵中数值大于A 的对应温度测点归为一类。

模糊聚类算法根据判别元素Λ 会获得温度传感器的不同分类。进而从每一类中选择一个相关性最强的温度测点，作为温度敏感点的个数也不相同。通常，选择2 ～4 个温度敏感点足以满足模型精度要求。