如何保持物体系统的平衡？

在工程中,常常遇到由几个物体通过一定的约束联系在一起的系统,这种系统称为物体系统。如图4.19(a)所示的组合梁、图4.21 所示的三铰刚架等都是由几个物体组成的物体系统。

图4.19

研究物体系统的平衡时,不仅要求解支座反力,而且需要计算系统内各物体之间的相互作用力。我们将作用在物体上的力分为内力和外力。所谓外力,就是系统以外的其他物体作用在这个系统上的力;所谓内力,就是系统内各物体之间相互作用的力。如图4.19(b)所示,荷载及A、C 支座处的反力就是组合梁的外力,而在铰B 处左右两段梁之间的相互作用力就是组合梁的内力。应当注意,内力和外力是相对的概念,也就是相对所取的研究对象而言。例如,图4. 19(b)所示组合梁在铰B 处的约束反力,对组合梁的整体而言,就是内力;而对图4.19(c)、(d)所示的左、右两段梁来说,B 点处的约束反力被暴露出来,就成为外力。

当物体系统平衡时,组成该系统的每一个物体也都处于平衡状态,因此对于每一个受平面一般力系作用的物体,均可写出3 个平衡方程。若由n 个物体组成的物体系统,则共有3n 个独立的平衡方程。如系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时,则系统的平衡方程数目相应减少。当系统中的未知力数目等于独立平衡方程的数目时,则所有未知力都能由平衡方程求出,这样的问题称为静定问题。显然,前面列举的各例都是静定问题。在工程实际中,有时为了提高结构的承载能力,常常增加多余的约束,因而使这些结构的未知力的数目多于平衡方程的数目,未知量就不能全部由平衡方程求出,这样的问题称为静不定问题或超静定问题。这里只研究静定问题。

求解物体系统的平衡问题,关键在于恰当地选取研究对象,正确地选取投影轴和矩心,列出适当的平衡方程。总的原则是:尽可能地减少每一个平衡方程中的未知量,最好是每个方程只含有一个未知量,以避免求解联立方程。例如,对于图4.19(a)所示的连续梁,就适合于先取附属BC 部分作为研究对象,列出平衡方程,解出部分未知量;再从系统中选取基本部分或整个系统作为研究对象,列出平衡方程,求出其余的未知量。

图4.20

【例4.10】　组合梁受荷载如图4.20(a)所示。已知P1 =16 kN,P2 =20 kN,m =8 kN·m,梁自重不计,求支座A、C 的反力。

【解】　组合梁由两段梁AB 和BC 组成,作用于每段梁上的力系都是平面一般力系,共有6 个独立的平衡方程;而约束力的未知数也是6 个(A 处有3 个,B 处有2个,C 处有1 个)。

首先取BC 梁为研究对象,受力图如图4. 20(b)所示。

再以整体为研究对象,受力图如图4.20(c)所示,此时RC 已求出,只有3 个未知量。

校核:对整个组合梁,列出平衡式:

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可见计算无误。

【例4.11】　图4.21(a)所示为三铰刚架的受力情况。已知q=10 kN/m,l=12 m,h=6 m,求固定铰支座A、B 的约束反力和铰C 处的相互作用力。

【解】　三铰刚架由左、右两个折杆组成,作用于结构上的主动力是均布荷载q,约束反力为XA、XB、YA、YB。画出受力图,如图4.21(b)所示。在铰C 处将刚架拆开成左、右两半,假设铰C 对左半部的作用力是XC、YC,则作用于右半部的力应当是X′C、Y′C,两者是作用力与反作用力的关系,如图4.21(c)所示。从整体和两个折杆的受力图上看到,要求的未知量共有6 个。

图4. 21

作用在整体或每个折杆上的未知力个数都是4 个。可分别选取整体和一个折杆为研究对象,或选取左、右两个折杆为研究对象,列出6 个平衡方程,求解6 个未知量。先取整体为研究对象,将力矩方程的矩心分别选在A、B 两点上,可以方便地求出YB 和YA。然后再考虑一个折杆的平衡,因YB 和YA 已求得,每个折杆上都只剩下3 个未知力,因而列3 个平衡方程就可求解。

①取整体为研究对象。

②取左边折杆为研究对象。

校核:可以再取右边折杆为研究对象,列出它的平衡方程,并将求出的数值代入,验算是否满足平衡条件(请读者自己完成)。

通过以上例题的分析,可将求解物体系统平衡问题的要领归纳如下:

①要抓住一个“拆”字。将物体系统从相互联系的位置拆开,在拆开的位置用相应的约束反力代替约束对物体的作用。这样,就把物体系统分解为若干个单个物体,单个物体受力简单,便于分析。

②比较系统的独立平衡方程个数与未知量个数,若彼此相等,则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说,由n 个物体组成的系统,可以建立3n 个独立的平衡方程。

③根据已知条件和所求的未知量,选取研究对象。通常可先由整体系统的平衡,求出某些待求的未知量,然后再根据需要适当选取系统中的某些部分为研究对象,求出其余的未知量。

④在各单个物体的受力图上,物体间相互作用的力一定要符合作用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系,是顺次继续求解未知力的“桥”。在一个物体上,可能某拆开处的相互作用力是未知的,但求解之后,对与它在该处联系的另一物体就成为已知的。可见,作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。

⑤选择平衡方程的形式和注意选取适当的坐标轴和矩心,尽可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量,并尽可能使计算简化。