产形面参数及其关系分析

滚刀、剃齿刀的刀刃所在的产形面，珩磨轮、研磨轮的产形面，都是渐开螺旋面。

图4-2 渐开螺旋面及其参数

如图4-2所示，坐标系σ₁的i₁轴过基圆柱上渐开线起始点。若取渐开线齿廓和圆柱螺旋线为产形面Σ₁的参数曲线，在σ₁里Σ₁上任1点M的径矢为

利用圆矢量函数（见附录A），由式（4-7）得渐开螺旋面Σ₁在σ₁里的方程为

（r₁）₁=r_b1e₁（θ₁+μ）-r_b1θ₁g₁（θ₁+μ）+p₁μk₁ （4-8）

式中 θ₁、μ——渐开螺旋面Σ₁的参数。

若以渐开线齿廓和直母线为产形面Σ₁的参数曲线，Σ₁任一点的径矢为

利用圆矢量函数和球矢量函数（见附录A），由式（4-9）得到渐开螺旋面Σ₁在σ₁里的另一方程为

（r₁）₁=r_b1e₁（θ）-r_1bθg₁（θ）+um₁（90°+θ，β_b1） （4-10）

式中 θ，u——渐开螺旋面Σ₁的参数。

式（4-8）和式（4-10）是同一渐开螺旋面Σ₁的两个不同参数方程，前者便于处理得到的结果；后者以曲率线为参数曲线，便于求主方向、主曲率和建立活动标架。在下文中根据需要两者交替使用，因此需要找出参数的代换式。

由图4-2及式（4-8）和式（4-10）得到参数之间的关系为

θ=θ₁+μ （4-11）

u=p₁μ/cosβ_b1 （4-12）

由式（10），（r₁）₁的一阶偏导数为

Σ₁的第一类基本量为

齿面Σ₁的单位法矢量为(www.xing528.com)

（n₁）₁=（r_1u）₁×（r_1θ）₁/D （4-15）

要求n₁由轮1齿的实体指向空域D取正值：

将式（4-13）、式（4-14）和式（4-16）代入式（4-15）得

（n₁）₁=-n₁（90°+θ，β_b1） （4-17）

单位法矢量n₁与u值无关，沿直母线u，产形面的法线方向不变，Σ₁是可展直纹面。直母线u方向和齿廓方向为主方向，其单位矢量为

在齿面Σ₁任一点M处建立活动标架[M；（g₁）₁，（g₂）₁，（n₁）₁]。

（r₁）₁的二阶偏导数为

Σ₁的第二类基本量为

g₁和g₂方向的主曲率为

将式（4-11）和式（4-12）参数代换式代入（4-22）得

对于式（4-10）等式进行σ₁→σ₀₁坐标变换，得到在σ₀₁里曲面族{Σ₁}₀₁的方程为

活动标架的单位矢量为