直线上点的水平投影及迹点的概念拓展

点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然。

如图3-11所示，垂直于H面的直线AB的水平投影积聚成一点，AB上的点C的水平投影c也必积聚在其上；与H面倾斜的直线DE的水平投影de为直线，DE上的点F的水平投影f必在de上。同理，直线上的点的正面投影、侧面投影必在该直线的正面投影、侧面投影上。由初等几何可知，点F分割DE的长度比与F点的投影分DE的同面投影的长度比相等，即DF∶FE＝df∶fe＝d′f′∶f′e′＝d″f″∶f″e″。

判断点是否在直线上可以通过直线上点的投影特性检验。如图3-12所示，判断点C、F、K、M是否在直线AB、DE、GH、JN上。用直线上点的投影特性就可以检验：在两面投影体系中可以判定点C、F在直线AB、DE上，点K不在直线GH上；点M是否在直线JN上需增加一个投影面即用三面投影体系才能判断，也可用定比分点来判断点M是否在直线JM上。

图3-11　直线上的点的投影特性

图3-12　判断点是否在直线上

【例3-5】　如图3-13（a）、（b）所示，已知直线AB及点C、D，检验点C、D是否在直线AB上。

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图3-13　检验点C和D是否在直线AB上

（a）立体图；（b）已知条件；（c）检验方法一；（d）检验方法二

【解】　由于直线AB是侧平线，虽然点C、D的两个投影都位于直线AB的同面投影上，但不能按直线上点的投影特性在两面投影体系中检验，可在三面投影体系中检验。现用如下两种方法进行检验：

（1）检验方法一[图3-13（c）]：由原点O作OX的垂线并反向延长OX扩展成三面投影体系，按已知点的两投影作出第三投影，作出A、B、C、D的侧面投影a″、b″、c″、d″，并连接AB直线的侧面投影a″b″。由于c″不在a″b″上，d″在a″b″上，便检验出点C不在直线AB上，点D在直线AB上。

（2）检验方法二[图3-13（d）]：应用点分割直线成等比例原理分析，过点a作任意方向的直线，在其上依次量取d0、c0、b0，使ad0、d0c0、c0b0分别等于a′d′、d′c′、c′b′。连接b与b0，过d0、c0作bb0的平行线，过d0的平行线恰好与ab交于d，而过c0的平行线与ab的交点不与c重合，则点D在直线AB上，点C不在直线AB上。

知识拓展

直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。迹点是直线上的点也是投影面上的点，因此，迹点在它所在投影面上的投影与自身重合；另外的投影则在相应的投影轴上。

由于直线与投影面的相对位置不同，直线与投影面的交点位置及数量均有差异：一般位置直线有三个迹点，可能在第一分角也可能在其他分角；投影面平行线有两个迹点，直线与所平行的投影面无交点，即没有迹点；投影面垂直线只有一个迹点。