如何绘制点的投影？

任务目标

1.能叙述点的投影特性。

2.能正确绘制点的投影。

任务准备

点是组成物体最基本的几何元素，点可以连成线，线可以组成面，面可以构成体。由点的投影特性可知，点的投影仍然是点。点在空间的位置可以用直角坐标来表示。

1.点的三面投影

将空间的点A 分别向H、V、W 三个投影面进行投影，投射线在H 面的垂足得到水平投影a，投射线在V的垂足得到正面投影a′，投射线在W面的垂足得到侧面投影a"，如图3-3-1（a）所示。

为统一起见，规定空间的点用A、B、C…大写字母表示，水平投影用相应的小写字母a、b、c…表示，正面投影用相应的小写字母在右上角加一撇（a′、b′、c′…）表示，侧面投影用相应的小写字母在右上角加两撇（a"、b"、c"…）表示。

2.点的三面投影展开

按照图3-3-1（b）所示，将点的三投影面体系展开至一个平面，并将投影面的边框去掉，得到如图3-3-1（c）所示点的三面投影。其中，为了便于投影分析，用细实线将点的相邻两投影连起来，aa′，a′a"称为投影连线。A和a"不能直接相连，因为在三个投影面展开时，Y 轴被分开（YH 和YW）。作图时，可用45°辅助线或者圆弧辅助线将它们联系起来，如图3-3-1（d）所示。

图3-3-1　点的三面投影

3.点的三面投影与点的空间位置关系

如图3-3-2所示，点A的空间位置可由点A到三个投影面的距离来确定。如把三投影面体系看作空间直角坐标体系，则H 面、V 面、W 面为坐标面，OX 轴、OY 轴、OZ 轴为坐标轴，点O为坐标原点，以此得到点的三个坐标值，点到三个投影面的距离以及点的三面投影到相应投影轴的距离关系为：

点A的X 坐标值ax=点A到W 面的距离(Aa") = a′到OZ轴的距离(a′az) =a到OY 轴的距离(aay)；(www.xing528.com)

点A 的Y 坐标值(ay) =点A到V 面的距离(Aa′) =a"到OZ 轴的距离（a"az）=a到OX 轴的距离(aax)；

点A 的Z 坐标值(az) =点到H 面的距离(Aa) = a′到OX 轴的距离(a′ax) = a"到OY 轴的距离(a"ay)。

由此可见，点到投影面的距离等于该点在另外两个投影面的投影到相应投影轴的距离，如图3-3-1（a）所示。

4.点的三面投影规律

将点的三面投影展开后，各投影之间的关系如图3-3-2所示，具有以下规律：

图3-3-2　点面距与影轴距

（1）点的两面投影连线必定垂直于相应的投影轴，即

aa′⊥OX 轴，a′a"⊥OZ轴，aay ⊥OYH 轴，a"ay ⊥OYW 轴。

（2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离，即

a′到OX 轴的距离(a′ax) =a"到OY 轴的距离(a"ay) =点A到H 面（OX 和OY 组成）的距离(Aa)；

a 到OX 轴的距离(aax) =a"到OZ 轴的距离(a"az) =点A到V 面（OZ 和OX 组成）的距离(Aa′)；

a′到OZ 轴的距离(a′az) =a 到OY 轴的距离(aay) =点A到W 面（OZ 和OY 组成）的距离(Aa")。

由以上内容可知，若已知空间中一个点的两面投影，则该点的空间位置是确定的。