基于LPV的系统辨识理论基础

考虑如下SISO的IO模型：

y（t）=G（p，q^-1）u（t）+v（t） （10-21）

式中，为由系统输入u（t）到输出y（t）的传递函数，q^-1为后移算子，v（t）为噪声信号；p为调度参数（scheduling parameter），且分子B（p，q^-1）、分母多项式A（p，q^-1）中的各系数a_i，b_j（1≤i≤n_a，1≤j≤n_b，n_a≤n_b）均为依赖于p的函数。调度参数p为表征系统工作状态的量，当在某一稳态工作点时可以认为p是一个常数值。假定全局工作范围内满足p∈[p_min，p_max]，其中p_min和p_max分别为上下限，且选定m各系统工作点p_k（k=1，2，…，m）：

p_min=p₁＜…＜p_m=p_max （10-22）

结合式（10-21）和式（10-22），可以推知在选定的工作点p_k上，系统实际为一个LTI模型：

为获取该模型的估计，可以采用传统的线性模型辨识方法，如最小二乘法、预测误差方法、状态空间方法以及ASYM方法^[29]等。采用模型插值方法，则此时所获模型为当地（局部）线性模型，而全局模型则基于当地线性模型插值而成：

式中，为对应工作点p_k辨识所得的线性模型，α_k（p）为对应的插值（权值）函数。当假设系统变量如增益或时间常数等在两个工作点之间单调变化，则式（10-24）会是原系统模型的良好近似。如此，则将形如

y（t）=G（p，q^-1）u（t）+v（t），p∈[p_min，p_max]

全局系统复杂G（p，q^-1）的辨识问题，转换为

的简单当地模型和插值函数的辨识问题，图10-6展示了该方法的原理示意图。

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图10-6 基于LPV系统辨识方法示意图

为计算插值函数α_k（p），可以取多种形式，如多项式函数、三次样条、分段线性函数、指数函数等。以选取三次样条函数为例，此时有

式中，k=1，2，…，m，M可称为三次样条的阶数；为在调度参数变化范围[p_min，p_max]内选定的序列，β^k_i（i=1，2，…，M）为待估计的参数。则当针对不同的权值函数α_k（p），选取同样的序列为，2，…，M时，对应的调度参数向量为

待估计的参数向量为

θ=[β¹₁…β¹_Mβ²₁…β²_M…β^m₁…β^m_M]^T（ 10-27）

则式（10-24）中的模型表达式转化为

式中，，剩余的问题即θ的估计问题，其可由下式获得

式中，。