梁内力：剪力和弯矩分析

当作用在梁上的全部外力（包括载荷和支座约束力）确定后，应用截面法可求出任一横截面上的内力。

1.用截面法求剪力和弯矩

如图2-4-8（a）所示的悬臂梁，在自由端作用一集中力F，欲求距梁左端x处m—m截面上的内力。首先，由静力学平衡方程求出其支座反力FB＝F，约束力偶矩MB＝Fl，如图2-4-8（b）所示。

利用截面法假想沿横截面m—m将梁截成两段，取左段为研究对象，如图2-4-8（c）所示。由于整个梁在外力作用下平衡，所以各段梁也必平衡。要使左段梁处于平衡，那么横截面m—m上必有一个作用线与外力F平行的切向内力FQ与之平衡；同时力F与FQ形成一力偶，使左段梁有顺时针转动的趋势，而实际梁仍处于平衡状态，因此在该横截面上还应有一个逆时针转向的力偶矩M。

图2-4-8　剪力和弯矩的计算

由平衡方程

得

这个作用线平行于截面的内力称为剪力，用符号FQ表示。

由平衡方程

得

式中的矩心C是x截面的形心，这个作用平面垂直于横截面的力偶矩称为弯矩，用符号M表示。

同理，取x截面右段梁为研究对象[图2-4-8（d）]，由平衡方程

得

由

得

由结果可知，无论取截面左侧为研究对象还是取截面右侧为研究对象，计算结果相同。

2.剪力FQ、弯矩M的正负规定

为使所取截面左段梁和右段梁求得的剪力与弯矩不仅数值相等，且符号一致，规定剪力与弯矩的正负如下（见图2-4-9）：

（1）剪力的正负规定。凡对所取梁内任一点产生的力矩是顺时针转向的剪力为正，反之为负。即以截面左侧为研究对象时，向下的剪力为正，反之为负；以截面右侧为研究对象时，向上的剪力为正，反之为负。

（2）弯矩的正负规定。凡使所取梁段产生上凹下凸变形的弯矩为正，反之为负，即以截面左侧为研究对象时，逆时针转向弯矩为正，反之为负；以截面右侧为研究对象时，顺时针转向弯矩为正，反之为负。

也可简单表述为：剪力左上右下为正，反之为负；弯矩左顺右逆为正，反之为负。(www.xing528.com)

图2-4-9　剪力和弯矩的正负规定

（a）剪力的正负规定；（b）弯矩的正负规定

应用截面法求剪力和弯矩时，通常先假设剪力和弯矩为正，然后由平衡条件计算剪力和弯矩的大小，若计算结果为正，说明内力的实际方向与假设方向相同；若结果为负，说明内力的实际方向与假设方向相反。

3.任意截面上剪力FQ和弯矩M的计算

由10.2.1节中的计算可知，梁上任意x截面上的剪力，等于x截面左侧（或右侧）梁上外力的代数和。截面左侧向上的外力或右侧向下的外力产生正的剪力；反之，产生负的剪力。梁上任意x截面上的弯矩，等于x截面左侧（或右侧）梁上外力对x截面形心力矩的代数和。截面左侧顺时针转向或右侧逆时针转向的外力矩产生正的弯矩；反之，产生负的弯矩。

简单表述为：

例2-4-1　外伸梁如图2-4-10所示，已知均布载荷集度为q，集中力偶MC＝qa2，且Δ→0。求梁各指定截面上的剪力和弯矩。

图2-4-10　例2-4-1图

解：（1）求支座反力，取整个梁为研究对象，画受力图，列平衡方程。

（2）求各指定截面的剪力和弯矩

1—1截面：由1—1截面左段梁上外力的代数和求得该截面的剪力为

由1—1截面左段梁上外力对截面形心力矩的代数和求得该截面的弯矩为

2—2截面：由2—2截面左段梁计算，得

3—3截面：由3—3截面左段梁计算，得

4—4截面：由4—4截面右段梁计算，得

5—5截面：由5—5截面右段梁计算，得

由上述计算结果可得：

（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在集中力作用处沿力的方向产生了突变，突变的幅值等于集中力的大小。

（2）集中力偶作用处的两侧临近截面的剪力相同，弯矩不同，说明弯矩在集中力偶作用处产生了突变，突变的幅值等于集中力偶的大小。

（3）由于集中力和集中力偶的作用截面上剪力和弯矩分别有突变，因此，应用截面法求任意指定截面的剪力和弯矩时，截面不能取在集中力和集中力偶所在的截面上。