高中数学微专题 | 构造法应用于数列问题

从数列的递推关系入手，通过构造化归为等差或等比数列，再进一步求解，题型精彩纷呈，在第三十七讲递推数列问题中归纳的9种解法实质上都是构造法解题的典范，实际上，构造法在数列有关问题中的应用还要广泛，比如，由于数列是定义在正整数集合或其子集上的函数，可以根据题目的特点构造函数，利用函数的性质求解，会收到意想不到的效果.又比如有些数学问题表面上与数列无关，但从形式结构等特点通过构造数列可以智慧地解决，且解法简捷，构思精巧，颇具魅力.

一、例题精讲

例1　(1)已知在数列{an}中，求它的通项公式；

(2)对任意自然数n，求证：

(3)已知不等式对于一切大于1的正整数n均成立，求实数a的取值范围.

解题策略　第(1)问，对于形如an+1-an=f(n)的递推数列，若f(n)可表示为f(n)=bn-bn+1，则可以构造常数列{an+bn}，从而求出数列{an}的通项公式.第(2)问，构造数列型函数通过比商法判断f(n)的单调性证之，可以运用著名的伯努利不等式(1+x)n>1+nx，这里x>-1且x≠0，n∈N且n≥2进行放缩，也可以运用假分数的一个性质即糖水不等式：若a>b>0，m>0，则进行放缩，放缩的过程实质也是一种构造.第(3)问，构造数列型函数由于是和式，可通过比差法判断f(n)的单调性转化为解对数不等式得所求结果.

解：(1)

数列是常数列，且首项是故

∴数列{an}的通项公式是

(2)证法一　构造数列型函数则

即f(n+1)>f(n)，

函数f(n)单调递增，故有

即

证法二　(利用伯努利不等式)

∵(1+a)2=1+2a+a2>1+2a(a>0)，

令可得n个不等式，将它们相乘得

两边开方即得

证法三　(利用糖水不等式)

若a>b>0，m>0，则

即

故有

(3)设

要使原不等式成立，只需

解得

例2　(1)设n∈N*，且sinα+cosα=-1，求sinnα+cosnα的值；

(2)设数列{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-1(n≥2)，求an.

(3)设实数a，b，x，y满足方程组求ax5+by5.

解题策略　第(1)问，已知sinα+cosα=-1，当然sin2α+cos2α=1是没有问题的，然而当n=3，4，…时sinnα+cosnα的值又是多少呢？一般不容易求得，若把条件式sinα+cosα=1变形为则成等差数列，问题就容易解决了；第(2)问由递推式求通项公式，首先要对递推式变形，不同的变形可以构造出不同的等比数列，但最后求得的结果当然是一样的，从中可以发现构造法的多样性；第(3)问，应当从条件中发现隐含着的阶差递推关系，所给方程组的一般项具有axn+byn形式，若令an=axn+byn，则易得an+2，an+1，an之间的关系，从而构造得到递推数列模型，构造法解题的过程实质是创造性思维发挥着主导作用.(www.xing528.com)

解：(1)成等差数列，

设

由解得

当时，sinα=-1，cosα=0；当时，sinα=0，cosα=-1，

故sinnα+cosnα=(-1)n.

(2)解法一　(构造等比数列后运用累加法)

类比已知条件的形式构造另一个等式，两式相减，

即由an=3an-1+2n-1(n≥2)，知n=2时，a2=3a1+4-1=15，a2-a1=11，an+1=3an+2(n+1)-1(n≥1).

与原式两式相减得an+1-an=3(an-an-1)+2(n≥2).

即an+1-an+1=3(an-an-1+1)(n≥2).

∴数列{an+1-an+1}构成以12为首项，3为公比的等比数列.

∴an+1-an+1=12·3n-1=4·3n，即an+1-an=4·3n-1-1，

则有an-an-1=4·3n-1-1，an-1-an-2=4·3n-2-1，…，a3-a2=4·32-1，a2-a1=4·31-1.

将上述n-1个等式累加可得

解法二　(直接构造新等比数列求出通项)

将条件an=3an-1+2n-1(n≥2)变形为(an+n+1)=3[an-1+(n-1)+1](n≥2)，从而知数列{an+n+1}是以6为首项，3为公比的等比数列.

∴an+n+1=2·3n，an=2·3n-n-1.

(3)设an=axn+byn，则a1=3，a2=7，a3=16，a4=42.

又∵an+2=axn+2+byn+2=(x+y)(axn+1+byn+1)-xy(axn+byn)=(x+y)an+1-xyan，于是

∴ax5+by5=(x+y)a4-xya3=-14·42+38·16=20.

二、发散训练

1. 设

求证：不等式对一切正整数n都成立.

2. 某种电路开关闭合后会出现闪动的红灯或绿灯，已知开关第一次闭合，出现红灯和出现绿灯的概率都是从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn.

(1)求P2；

(2)求证：