李正兴高中数学微专题压轴题攻略

树上开花，是由“铁树开花”转化而来的，原意为不可能开花的树竟然开起花来了，比喻极难实现的事情.兵书《三十六计》上把它作为制造声势以慑服敌人的一种计谋，许多成语的含义是在不断演化的，因为“铁树开花”虽然不容易，但也有开花的时刻.

高中数学考点众多，知识体系十分丰富，如果我们把它们看作一棵树的枝叶，叶与叶之间从表面看似乎毫不相关，而实际上同属于一棵树，同宗同脉，考点与考点之间是紧密联系在一起的，章与章之间知识上是互相交汇的，如果我们能够融会贯通这一系列的通识、通法，一定会结出丰硕之果.

要进入这种“扎根基础、树上开花”的境界必须首先做到以下两点:

1.回归课本、梳理概念

观察近几年的高考数学试卷中的压轴题，虽然初看似曾相识，但细看又关卡重重，其特点是综合性强，难度确实有点高，但是我们静下心来仔细审题，解题的入口还是比较宽的，命题者不可能连门都不让你进.把题目分解开来看，也并不是一道大题的每道小题都很难，通常前面几小题仍以中学数学的基础知识、重点内容、基本方法出发设计命题，把对基础知识的考查放在突出的地位，从基本概念、基本性质、基本表达形式、基本的公式出发去理解问题、解决问题.所以当前最重要的是在第一轮复习的基础上，以课程标准与《考试手册》为纲，以题型示例为参照，以课本为依据，独立地把各章知识点梳理一遍，一是厘清知识发生的本质，构建高中数学基础知识的网络；二是克服“眼高手低”“好高骛远”的毛病，对课本中的例题、习题进行举一反三的推敲；三是对第一轮复习过程中老师讲的例题、布置的习题进行整理归纳，对做错的习题进行分类订正，对于典型例题、习题提炼通法，构建知识块、解法链.实际上高考中相当多的试题是从课本上的例题进行适当变形或重组而得到的，直接考查课本上某一定理的证明也出现过多次，回归课本，梳理概念，既有利于消除第一轮复习中还存在的薄弱环节，查漏补缺，全面把基础落实，更有利于拿下压轴题中的基本分.

2.重视“通法”，淡化“特技”

《考试手册》指出：“数学学科高考旨在考查中学数学的基础知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力.”近年来又提出“核心素养”，这是在高考数学复习中必须认真理解、切实照办的.当前课改的根本方向是课程目标的构建，即由“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”3个维度构成的目标体系，强调“展现知识的发生、发展、形成和应用的过程”，这就告诉我们当前命制数学高考题不会过分地追求特殊方法和特殊技巧，运算量也不会太大，但试卷的阅读量会增加，所以考生应用重视“通法”，也就是高中数学中经常运用的由数学思想统领的基本解题方法.这种“通法”的掌握不是靠做大量的习题才能做到，而应当学会“读题”，通过“读题”提高思维层次，通过归纳总结领悟并掌握“通法”，比如可以找一本以总结解题方法为主的参考书，通过读题，首先想一想这道题涉及哪些重要的知识点，想一想若自己做这道题可以运用什么样的解题方法，不妨试着解一解，再看一看书中是如何分析这道题并提供了怎样的解法，随即与自己的解法相对照比较一下优劣，思考一下本题的解法中运用了哪些数学思想与解题谋略，回顾一下所碰到过的类似的习题，思考当题中条件、结论稍作改变，在解法上会有什么变化等.

千万不要认为学会解题一定要做大量的题目，反反复复地进行操练，解一定量的题目以巩固知识的掌握程度是需要的，若再辅之以边读题边思考边总结，必定事半功倍.

以上两点是确保压轴题基本分获取的法宝.

一、例题精讲

例1　已知函数f(x)=x2+ax+b在区间[2,3]上有零点，则a2+b2的取值范围是________.

解题策略　本题初看不过是二次函数问题.二次项系数为1，抛物线开口向上，在区间[2,3]上有零点，则对有一个或两个零点讨论，由于对称轴未定，对称轴相对于区间的位置关系又要进一步分类讨论，解题过程是够复杂的，难点不仅仅在此，因为解析式中含有双参数，而需寻求的是双参数构成的关系式a2+b2的取值范围，a2+b2用什么来表示？如何才能求出其范围？看来解决本题并不简单.解决本题的关键是实施转化，把较为复杂的问题朝简单的方向转化、朝常见的题型转化、扎根基础、寻找最基本的通解求出结果.比如将双参数的最值问题转化为单参数函数的最值问题，利用导数求最值就方便多了；比如通过变更主元，即视a，b为主元，x为参数，则关于x的二次方程x2+ax+b=0变更为b+xa+x2=0则是直线方程，(a2+b2)min即为原点到此直线距离的平方；比如通过构造向量运用柯西不等式求解；又比如转化为函数零点问题结合“耐克”函数单调性求解.总之，这4种思考方法都是把难度较高的双参数问题转化为容易求解的基础问题，化难为易应当是解题者追求的目标.

解法一　由b=-x2-ax，得g(x)=a2+b2=(-x2-ax)2+a2=x4+2ax3+a2x2+a2，

∴g′(x)=2x(x+a)(2x+a).

当a≥-2时，g(x)在区间[2,3]上单调递增.

此时

当a<-2时，(舍去).综上，

解法二　∵x2+ax+b=0，把主元x变更为a,b,x为参数，则关于x的二次方程变为关于a和b的直线方程b+xa+x2=0.

∴(a2+b2)min即为平面上原点到直线b+xa+x2=0的距离平方，有

当时，x=2.

解法三　由x2=-ax-b，得

则即(a2+b2)(x2+1)≥(-ax-b)2=x4,

此时

解法四　设α,β是函数f(x)的零点，α∈[2,3],β∈R,

∵α+β=-a，αβ=b，t=α2+1∈[5,10].

∴a2+b2

(t=5时取等号).

此时，

例2　(1)已知函数f(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线对称，求实数a的值.

(2)将函数f(x)=sin2x+cos2x的图像向左平移φ个单位，所得图像对应的函数为奇函数，求φ的最小正值.

(3)若将函数的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，求φ的最小正值.

(4)(2017年高考数学全国卷Ⅱ理科第14题)　函数最大值是________.

(5)(2018年高考数学全国卷Ⅰ理科第16题)　已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________.

(6)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0,ω>0)，若f(x)在区间上具有单调性，且求f(x)的最小正周期.

解题策略　这是一组研究三角函数周期性、奇偶性、单调性以及图像的对称性、最大最小值的基础题，而且它们之间又往往交汇在一起，可以纳入统一的知识体系，从不同的角度入手求解，有些解法非常巧妙.这类题扎根基础，看似简单，内涵丰硕，是三角函数这棵大树上开出的美丽小花.

解：(1)解法一　(通解一)

由正弦函数图像的性质知，当时，

即

即

解法二　(通解二)∵函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线对称，

即

∴-cos2x-asin2x=sin2x+acos2x，即(a+1)(sin2x+cos2x)=0，故a=-1.

解法三　(特殊法解)∵函数图像关于直线对称，且(0,a)在原函数的图像上，点(0,a)关于的对称点为

即故a=-1.

(2)

先作出函数的图像，再向左平移个单位，操作时也可理解为相对地将y轴向右平移个单位，再将图像向左平移φ个单位确保平移后的函数为奇函数，求φ的最小正值，即将y轴再向右平移，第一次经过图像与x轴交点时平移的大小即为φ的最小正值，应为

(3)解法一　的图像向右平移φ个单位得函数的图像，由函数的图像关于y轴对称可知，即故即又

解法二　根据正弦函数的对称性，只要找到y轴左侧第一条对称轴.

由得取k=-1，得

即将函数的图像向右平移个单位.

(4)化简三角函数的解析式，得

由自变量的范围可得cosx∈[0,1].

当时，函数f(x)取得最大值1.

(5)解法一　(导数法)f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx-2=2(cosx+1)(2cosx-1).

令f′(x)>0，得即f(x)在区间内单调递增；

令f′(x)<0，得即f(x)在区间内单调递减，

则

解法二　(化单角三角函数后用均值不等式)

∵f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx).

∴[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3

当且仅当3(1-cosx)=1+cosx，即时取等号.

的最小值为

解法三　(化半角三角函数后用均值不等式)

∵f(x)

当且仅当即时取等号.

的最小值为

解法四　(换元法结合导数法)

∵f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，(www.xing528.com)

∴[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.

设cosx=t，则y=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1).

∴y′=4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=4(1+t)2(2-4t).

∴当时，y′>0；当时，y′<0.

∴函数y=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1)在上单调递增，在上单调递减.

∴当时，当t=±1时，ymin=0.

即的最小值为

解法五　(配方法)

f(x)

当且仅当 即时，f(x)取最小值

(6)解法一　∵f(x)在区间上具有单调性，且

和均不是f(x)的极值点，其极值应该在处取得.

也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，则为f(x)的另一个相邻的极值点.

故函数f(x)的最小正周期

解法二　∵f(x)在区间上具有单调性，

又就是函数f(x)的图像与x轴的一个交点.

图1-1

且就是和在同一个周期内的一个极值点，整合上述信息画出大致图像如图1-1所示,可知

解法三

而f(x)在区间上具有单调性且

又点是f(x)的一个对称中心，

直线是f(x)的一条对称轴，且对称中心与对称轴相邻，

故有

图1-2

例3　《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将4个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图1-2所示，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E作EF⊥PB，垂足为点F，联结DE，DF，BD，BE.

(1)证明：PB⊥平面DEF，并判断四面体DBEF是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由.

(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为求的值.

解题策略　本例是2015年高考数学湖北卷理科第19题，载体是阳马，一种特殊的四棱锥，既可用综合法，也可用向量法.用综合法有利于训练学生空间想象能力与逻辑推理能力；用向量法和计算空间度量关系则可以降低解题难度.比如第(2)问，若使用综合法，需要作出平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角，为此需要作出平面DEF与平面ABCD的交线，有一定的难度，若采用向量法，则可避开这些难点.下面提供两种解法，读者可作比较.

证法一　(1)(综合法)要证PB⊥平面DEF，只需证直线PB垂直于平面DEF内的两条相交直线，而已知EF⊥PB，故只要在平面DEF内找一条既与PB垂直，又与EF相交的直线，观察分析可以发现，DE即为所要寻找的对象.

∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.由底面ABCD是长方形，∴BC⊥CD，而PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，而平面PCD，∴DE⊥BC.

又∵PD=CD，点E是PC中点，∴DE⊥PC，PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，而平面PBC，∴PB⊥DE.

又∵PB⊥EF，DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知∠DEF、∠DEB、∠EFB、∠DFB都是直角，故四面体DBEF为鳖臑.

图1-3

(2)如图1-3所示，在平面PBC内，延长BC与EF交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.

由(1)知PB⊥平面DEF，∴PB⊥DG.

又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DG.

而PD∩PB=P，∴DG⊥平面PBD.

故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角.

设PD=DC=1，BC=λ，有

在Rt△PDB中，由DF⊥PB得

则解得

故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为时，

图1-4

证法二　(1)(向量法)如图1-4所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

设PD=DC=1，BC=λ，则有D(0,0,0)，P(0,0,1)，

点E是PC的中点，

于是即PB⊥DE.

又已知EF⊥PB，而DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF.

则DE⊥PC,∴DE⊥平面PBC，由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的4个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其4个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.

(2)由PD⊥平面ABCD，可得是平面ABCD的一个法向量；

由(1)知PB⊥平面DEF，可得是平面DEF的一个法向量.

若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为则有

解得

故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为时，

二、发散训练

1. 如图1-5所示，在等腰直角△OPQ中，点M在线段PQ上,

(1)若求MP的长；

(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°,问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值.

图1-5

2. 如图1-6所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.

图1-6