李正兴高中数学微专题压轴题攻略篇三角函数与向量方法

三角函数与平面向量是高中数学的两块重点内容，两者知识与方法的交汇与综合也是高考重点考查的内容之一.特别是近几年来，已成为高考命题的一个“题眼”，备受命题者的关注，试题常以向量为工具，探讨三角比的求值、化简、证明以及解三角形，探讨三角函数的图像与性质以及与三角函数相关的拓展题、新颖题.

本讲以近几年的高考题为例，对平面向量与三角函数的综合问题进行分类解析，出现较多的有以下三种类型.

(1)题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

(3)运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题，一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一致的，向量的线性运算(向量回路)与向量的坐标运算是求解两向量问题的两大途径.关于夹角问题，可以把两个向量的夹角放在三角形中，利用正余弦定理、三角形的面积公式求解；用向量法研究三角形的“四心”(重心、垂心、内心、外心)问题，判断三角形的形状问题也都是常见的题型.

　图2-22

一、例题精讲

例1　(2017年高考数学江苏卷第12题)

如图2-22所示，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为α，且与的夹角为45°，若则m+n=　　　　.

解题策略　本题主要考查三角函数的定义、三角恒等变换以及平面向量的数量积运算.平面向量数量积的运算一般有两种解法,一是利用向量数量积的坐标运算求解,二是利用向量数量积的定义和运算性质求解.如果通过添线构造不同的图形可以有多种不同的新颖解法，显得简捷又精彩.

解法一　(通解)　以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由得

设C(xC，yC),B(xB，yB)，则即又则即由可得解得

解法二　(优解一)　由得

则

由得即　①

同理可得即　②

　图2-23

联立①②，解得

解法三　(优解二)　过点C作OB的平行线交直线OA于点M，如图2-23所示，则中，由正弦定理得

即解得

解法四　(优解三)　如图2-24所示，联结AB交OC于点D，

　图2-24

从而

于是

例2　(1)已知7sinα+24cosα=25，求tanα的值；

(2)已知求锐角α、β；

(3)运用向量法证明：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

解题策略　第(1)、(2)两问，作为三角求值或求角，完全可以在三角函数范围内解，但若运用向量法解，则思维简约，过程快捷；第(3)问，两角差的余弦公式有多种证明方法.运用向量法证明可以开阔思路，拓展视野.

解：(1)注意到系数满足72+242=252，可构造向量

于是由可得即7=25sinα，24=25cosα，故

(2)由已知得　①

构造向量

由于

又由有即

即将代入①式并整理得

　图2-25

(3)证明　在单位圆O上任取两点A、B，以Ox为始边，以OA、OB为终边的角分别为β、α，如图2-25所示.

则A点坐标为(cosβ，sinβ)，B点坐标为(cosα，sinα)，则向量它们的夹角为α-β.由向量夹角公式得：即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

例3　设为单位向量，非零向量若的夹角为则的最大值等于　　　　.

解题策略　本题表述简洁清晰，可从坐标入手，运用配方法求最值；也可从方程角度入手，运用判别式法确定范围而获得最值；若从“形”的角度入手，则更奇妙.

解法一　设则

当x=0时，

当x≠0时，

解法二　设可得当x≠0时，

有解得t∈[0，2]，即的最大值为2.

　图2-26

解法三　如图2-26所示，设则当点E在∠AOB内时，显然有当点E在∠AOB外时，在△ODE中，由正弦定理知当且仅当时，等号成立，故的最大值为2.

例4　在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量则点Q的坐标是(　　).

解题策略　本题可以利用向量所成角的余弦值与向量的模构造方程，求出点的坐标，也可以将向量的旋转转化为三角函数的运算求解.

解法一　设点Q的坐标为(x，y)，由题意知

又　①(https://www.xing528.com)

∵向量与的夹角为且点Q在第三象限，

∴

∴6x+8y=　②

联立①②，解得或

又∵点Q在第三象限，∴点Q的坐标为选A.

解法二　设又设点Q的坐标为(x，y)，由题意知则点Q的坐标又可表示为

∴点Q的坐标为选A.

例5　在平面直角坐标系xOy中，已知向量

(1)若求tanx的值；

(2)若与的夹角为求x的值.

解题策略　本题可借助向量数量积的坐标运算将问题转化为三角函数求值、求角问题，构建方程是解题的关键，应注意两角和与差公式的逆用和角的范围.

解：(1)∵向量且

又则即

(2)由(1)知，

又

即

例6　已知向量

(1)求向量的长度的最大值；

(2)设且求cosβ的值.

解题策略　本题考查对向量的加法，数量积的坐标运算公式的运用以及三角函数知识.在由两个角的三角函数值相等确定角的关系时，要注意三角函数的周期性与奇偶性对结果的影响.

解：(1)解法一

则

=2(1-cosβ).

即

当cosβ=-1时，有向量的长度的最大值为2.

解法二

当cosβ=-1时，有即向量的长度的最大值为2.

(2)解法一　由已知可得

即cos(α-β)=cosα.

由得即

或β=2kπ(k∈Z).于是cosβ=0或cosβ=1.

解法二　若则又由得

即

∴sinβ=1-cosβ平方得sin2β=(1-cosβ)2，1-cos2β=(1-cosβ)2，

(1-cosβ)(1+cosβ-1+cosβ)=0.即cosβ(cosβ-1)=0.

解得cosβ=0或cosβ=1,经检验cosβ=0或cosβ=1即为所求.

例7　已知为不共线的向量，t∈R.

(1)求的最小值及相应的t值；

(2)求存在两个正数t1,t2且t1≠t2，使的充要条件.

解题策略　求向量模的最值问题的关键是利用将模的问题转化为数量积的问题.

解：(1)

其中θ为向量的夹角，

故当时，有最小值

(2)由(1)及t>0知，cosθ>0，即与的夹角为锐角.

在此前提下，存在t1、t2∈R+,且t1≠t2，使的充要条件是有两正解.

可得

即亦即

故所求充要条件为与的夹角为锐角，且

二、发散训练

1.(1)求函数y=2cosα-3sinα的最大、最小值及取最值时tanα的值.

(2)在锐角△ABC中，若a=7，b=8，向量且则△ABC的面积为(　　).

(3)已知向量若对任意单位向量均有则的最大值是　　　　　.

2. 已知向量

(1)若求x的值；

(2)记求f(x)的最大值和最小值.

3. 已知向量设函数且f(x)的图像过点和点

(1)求m、n的值；

(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像，若y=g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y=g(x)的单调递增区间.