李正兴高中数学微专题——压轴题攻略精要

G·波利亚指出：“从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程.事实上，解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路”“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识”“这里的困难在于通常有太多的题目与我们当前的题目有某些相关，即与其有一些共同点，我们怎样从中选出一个或几个确实有用的题目？有一个提议能使我们确切地指出一个必不可少的共同点来：观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目.”

G·波利亚进一步指出：“如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目，你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？”“题目的变化可以引出一些适当的辅助题目.”在这里，G·波利亚提出了数学问题的“变式”处理这一概念，这非常重要.我们在学习某一数学概念时，为了吃透概念，总会编制出具有典型性的例题，称之为“题根”或者“母题”，以这类“题根”或者“母题”出发，试着改变原题的“情景”，或改变求解的“对象”，或改变解题的“规则”，或改变原题的“条件”……会引申变化出一系列的“变式题”或者称之为“子题”.在攻克压轴题的过程中，如果我们能紧紧抓住某个知识点或知识网络交汇处的典型例题——“题根”和它的若干变式，做到举一反三，就可以通过解决一道题达到解决一批题、一类题的目的.

在攻克压轴题的战役中，抓住“母题”、聚焦“题根”，加强变式训练，解题能力就一定会提升到更高的层次.

本讲以题组的形式编排，每一组环绕一个中心，通常第(1)题是“母题”，后面的题为“子题”或“变式题”，通过这种层层推进的分析，使学生掌握的不仅是一道题的解法，而是一类题的解法.

一、例题精讲

例1　(1)若函数f(x)=x2+ax+1,当x∈[0,2]时恒有f(x)>0,求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)=x2+ax+1,当a∈[0,2]时恒有f(x)>0,求实数x的取值范围；

(3)已知函数在上恒正，求实数a的取值范围；

(4)若关于x的不等式x2-logmx<0在范围内恒成立，求实数m的取值范围.

解题策略　本例4小题的实质都是含参数不等式在区间上恒成立问题，这一课题设计这些例题是有讲究的.一是难度逐渐上升，第(1)第(2)问解出的是同一个二次函数，由于字母角色的转换使解题的方向也发生变化，审题时对于以哪个字母为“主元”要引起重视；第(3)问是二次函数与对数函数的综合，已知定义域考查值域，对底数进行分类讨论是解题的关键；第(4)问初看仍然是含参数不等式在指定区间上恒成立问题，由于不是常见函数，难度进一步上升，但若紧扣新函数的性质也还是不难解决的，对一个课题如何用由浅入深、由易到难的精选例题引导学生掌握一类题目的总体思考是非常重要的，循序渐进是一个极其重要的教学原则.

解：(1)当x=0时，f(x)=1>0恒成立，此时a∈R;

当x∈(0,2]时，由x2+ax+1>0恒成立得(此处采用参变分离法).又(当且仅当x=1时取“=”)，从而a>-2.

(2)由于a∈[0,2]时恒有f(x)>0，把a作为主元，设g(a)=xa+x2+1=f(x),则当a∈[0,2]时恒有g(a)>0，因此(此处特别要注意g(a)是一次函数，当a∈[0,2]时其图像为一段线段.)

即故x的取值范围是{x|x≠-1}.

(3)当a>1时，在上恒正，等价于在上恒成立

当x=1时，右边最大值为

当0<a<1时，在上恒正，等价于0<ax2-x+<1在上恒成立

当时，的最小值为

当x=1时，的最大值为

综上所述，a的取值范围是或

(4)构造函数则f(x)<0在时恒成立.

m≠1，若m>1，则x2-logmx>x2-logm1=x2>0，矛盾，∴0<m<1.

由f(x)=x2-logmx的单调性知f(x)递增，故f(x)<0在时恒成立⟺

由得

即因此m的取值范围是

例2　(1)若函数y=loga(3x2-4x+2a)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数y=log2[3ax2+(2a+1)x+1]的定义域为R，求实数a的取值范围；

(3)若函数y=loga(k2-k-2ax)(0<a<1)的定义域为(0,+∞)，求实数k的取值范围；

(4)若函数y=loga(k2-k-2ax)(0<a<1)在区间(0,+∞)上有意义，求实数k的取值范围；

(5)若函数y=loga(3x2-4x+2a)的值域为R，求实数a的取值范围；

(6)若函数y=log2[3ax2+(2a+1)x+1]的值域为R，求实数a的取值范围.

解题策略　这是一组复合函数已知定义域或值域反求参数范围的问题.第(1)(2)问在解答时可对比一下，参数位置的不同在解答时会有不一样的要求.第(3)(4)问给出的是同一函数，而第(3)问的定义域为(0,+∞)，第(4)问则是在区间(0,+∞)上有意义，两种提法究竟有什么差异？在解题时如何体现出这种差异？第(5)(6)问给出的都是复合函数，由于参数位置的不同，在解答时会有怎样的不同要求？第(1)(5)问所给函数相同，已知定义域为R或值域为R，所求都是a的取值范围，涉及相关知识上的差异，怎样才能不混淆？第(2)(6)问也需进行对比，在不断进行对照鉴别的解答中深刻理解这类问题的解法.

解：(1)由3x2-4x+2a>0对x∈R恒成立，得

且a≠1.

(2)由题意可得3ax2+(2a+1)x+1>0对x∈R恒成立.

若a=0，则y=x+1>0不恒成立；

若a≠0，则需解得

(3)函数y=loga(k2-k-2ax)(0<a<1)的定义域为(0,+∞)是指当k2-k-2ax>0时，x能取遍区间(0,+∞)中的一切值.

∵k2-k-2ax>0时，又

从而令得则k=2或k=-1.

(4)函数y=loga(k2-k-2ax)(0<a<1)在区间(0,+∞)上有意义是指k2-k-2ax>0对x∈(0,+∞)恒成立，即k2-k>2ax对x∈(0,+∞)恒成立.

由于0<a<1,x>0，∴0<ax<1，则k2-k≥2，因此k≥2或k≤-1.

(5)要使值域为R，需3x2-4x+2a的值取遍所有正实数，

则

(6)若a=0，则y=log2(x+1)，符合题意，故a=0；

若a≠0，函数t=3ax2+(2a+1)x+1必须取遍区间(0,+∞)中的一切值，

因此必须有解得或

综上所述，或

例3　(1)已知f(x)=asinx+bcosx.

1若且f(x)的最大值为求a、b的值;

2若且f(x)的最小值为k，求k的取值范围.

(2)1已知的最大值为2，求实数a的值；

2设用a表示f(x)的最大值M(a).

(3)k在什么范围内，对于总有不等式cos2θ+2ksinθ-2k-2<0成立；

(4)1求函数y=(a+sinx)(a+cosx)在的最小值；

2求函数的最值；

3设a>1,a,θ均为实数，试求当θ变化时，函数的最小值.

(5)1求函数的值域；

2求函数的值域.

(6)已知不等式对于恒成立，求a的取值范围.

解题策略　针对求三角函数最值这一专题，设计了如上的题组，有关这一专题的重要题型都在其中，且编排的方式由浅入深，题型又在不断变化之中，帮助学生掌握这一专题的“通解”是有益的.第(1)问两小题是运用“辅助角”公式求三角函数最值问题.第(2)问是用配方法求三角函数的最值，由于含有字母参数且角的范围的限定，故必须进行分类讨论.第(3)问是含参数三角不等式恒成立求参数的范围，参变分离法是首选.第(4)问所给解析式中sinx+cosx，sinxcosx的形式同时出现，或有倒数关系时运用换元法求最值，相应新函数的性质在解题过程中发挥重要作用.第(5)问两小题所给函数解析式是分式形式.1可利用三角函数的有界性求三角函数最值；2可运用数形结合法.第(6)问所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法，可注意到与角θ有关的几个三角函数式，因此考虑令sinθ+cosθ=x进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路.这一组习题不但题型“一网打尽”，重要解题方法也全部展示.

解：(1)

即a+b=2,又解得或(www.xing528.com)

2的最小值

∴k∈(-∞,-1].

(2)

下面对分类讨论:

(i)当即a<0时，则sinx=0时，解得a=-6；

(ii)当即0≤a≤2时，则时，解得a=-2或a=3，不满足条件，舍去;

(iii)当即a>2时，则sinx=1时，

综上,a=-6或

2f(x)

令sinx=t，则下面对分类讨论：

(i)当即a>2时，g(t)在[0,1]上递增，

(ii)当即0≤a≤2时，g(t)在[0,1]上先增后减，

(iii)当即a<0时，g(t)在[0,1]上递减，

(3)∵cos2θ+2ksinθ-2k-2<0 ⟺ 2k(sinθ-1)<2-cos2θ，　①

当时，sinθ-1=0，此时对一切k∈R,不等式①恒成立；

当时，-1≤sinθ-1<0，此时不等式①可化为

令t=1-sinθ，则0<t≤1.又∵函数在(0,1]上是减函数，的最小值为3，故

要使对均成立，则需

综上所述，

(4)1y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2，设

对称轴t=-a.下面对a分类讨论：

(i)当-a<1，即a>-1时，y在上递增，∴t=1时，ymin=a2+a；

(ii)当即时，

(iii)当即时，y在上递减，时，

综上所述，

2设sinx+cosx=t，则

且且y≠-1,故

令x=sinθ+1，则0<x≤2.设在(0,+∞)内的单调区间分界点为即当时，g(x)为减函数，当时，g(x)为增函数.

(i)当即时，g(x)的最小值为此时原函数的最小值为

(ii)当时，则有所以g(x)在该区间上的最小值为即当时，原函数的最小值为

综上所述，当时，原函数的最小值为

当时，原函数的最小值为

(5)

其中tanφ=y,

平方整理解得函数的值域为

本题还可运用数形结合，将y看作是动点P(cosx,sinx)，即单位圆上点与点A(-2,-1)连线的斜率来解.一般地，求形如型函数的值域或最值，既可以考虑使用三角函数有界性求解，也可以考虑数形结合法求解.

当ac≠0时，需将变形为后求解.

设即为点P(cosx,sinx)与点连线的斜率，再由得y的取值范围.若a≠c且a>0、c>0时，y可直接看作是椭圆上点P(ccosx,asinx)与点A(-d,-b)连线的斜率.

图1-11

令则k可以看成是经过点P(cosα,sinα)与点A(-2,0)的直线的斜率，又∵α∈[0,π],∴点P的轨迹为单位圆的上半圆，如图1-11所示，过点A作半圆的切线AP′，则易求得故 即函数的值域为

(6)设sinθ+cosθ=x，则

当时，从而原不等式可化为

即

　　①

∴原不等式等价于不等式①，

∴不等式①恒成立等价于恒成立，因此只要

又在上递减，故

二、发散训练

1. 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

2.(1)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有3个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为求直线l的倾斜角的取值范围；

(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线l:y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，求k的最大值.