行为保险经济学：伯努利效用函数的发明

1.伯努利发明边际递减的效用函数

在发现“所得的效用（心理价值）”与“所得的数学价值（或金钱价值）”是两个相互联系但不同的概念后，丹尼尔•伯努利创造了一种可将数学价值和效用联系起来的简单形式，即用二维平面图来表示数学价值和效用之间的关系，并且认为这个图形应该描述或反映上述案例所表现的人类的两个特点：一是一贫如洗、财富很少时，4万元的心理价值约为1万元的2倍；二是富人比穷人更愿意冒险，财富达到100万元时，3万元的心理价值大约相当于1万元的2倍。丹尼尔•伯努利认为这个图形应该是一条凹曲线，如图3－1所示。可以看出，丹尼尔•伯努利的这条曲线与标准经济学中人类的效用函数曲线一致，呈现边际效用递减的特征。

图3－1　财富与心理价值的关系曲线（效用函数曲线）

2.心理物理学的支持：费希纳定律

伯努利效用函数是在18世纪发明的。在此之后的19世纪50年代，心理物理学的研究成果进一步支持和泛化了伯努利的结论。

19世纪50年代，很多心理学家们想知道当客观事物变化时，人们对客观事物的体验到底是如何变化的，例如，当水的温度、光的强度等物理量变化时，人们对水温和光的强度的主观体验值是如何变化的，这一领域称为心理物理学（Psychophysics）。(www.xing528.com)

关于心理物理学，心理学家们最早提出的问题是，究竟物理刺激的强度变化多少才能让个体感觉到有差异，或者感觉到确实变化了。例如，室内灯光增加（或减少）多少瓦时，个体才能感觉到光线增强（或减弱）了。1834年，韦伯（Weber）提出，总的来说，某一种物理刺激，若要使人感觉到其强度的增加（或减少），必须使这一物理刺激强度在原有基础上增加（或减少）某个百分比，这一变化量被称为“最小可觉差”。研究发现，对于较小的物理刺激来说，只需要增加较小的变化量，个体就可感知到变化；但对于已经较大的物理刺激，就必须增加较大的刺激量，才能引起同等程度的注意。为了达到最小可觉差，需要增加（或减少）的刺激强度与原刺激强度的比率称为“韦伯分数”。举例来说，对重量差异感知的韦伯分数接近1/30，即只有将负重增加（或减少）原有负重的1/30时，人类才能感觉到负重确实增加（或减少）了。事实上，对于特定类型的感官刺激，其韦伯分数基本保持恒定，这一规律被称为“韦伯定律”。

图3－2　费希纳定律：心理强度与物理强度的对数函数关系

1860年，心理学家费希纳（Fechner）提出，最小可觉差可以用一定数值的心理强度而不是物理强度来描述，并且认为，心理强度是物理强度的对数，被称为“费希纳定律”。这一定律后来被广泛接受，从此，心理强度指标逐渐走上历史舞台。例如，噪声的心理强度现在用“贝尔”或“分贝”（1贝尔＝10分贝）来衡量，“贝尔”是一个心理强度指标而非物理强度指标，其计数单位就是以物理振幅的对数值来定义的，即“噪声的心理强度＝log噪声的物理振幅”，噪声每增加1贝尔，表示物理振幅增大了10倍。费希纳定律所描述的对数函数的图形见图3－2。

对数函数显然遵循边际递减原则，也叫作边际感受递减定律。看来，边际感受递减定律适用于描述绝大多数客观值与主观感受之间的变化关系。

天才的伯努利早在1738年就发现了金钱与效用之间的关系服从边际效用递减定律，比心理学界的费希纳定律早了120多年。