数学坐标下的向量运算

本节将给出向量的三种运算：内积，外积，混合积；并讨论它们的几何内涵以及运算的坐标公式.

1.4.1　内积

从力学中知道，若力F使一质点从点A处做位移S（图4-7），则做的功W为：

图4-7

其中F1为F沿S方向的分力，角α为F与S的夹角.

定义 向量的内积是一个实数，设非零向量a和b不共线，记〈a，b〉为a和b作为有向线段的夹角.定义a和b的内积为

特别地，规定（a，0）=（0，a）=0.

图4-8

由此得

由向量内积的几何意义，可以验证内积的运算律：对空间中的任意向量a，b，c和任意实数k，有

（1）（a，b）=（b，a）；

（2）（ka，b）=k（a，b）；

（3）（a+b，c）=（a，c）+（b，c）；

（4）若a≠0，则（a，a）＞0.

由内积的运算律，不难验证直角坐标系下的内积公式：设a，b在某直角坐标系下的坐标分别为（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），则a和b的内积满足

1.4.2　外积

定义 两个非零向量a和b的外积是一个向量，记作a×b.其长度为

其方向为与a和b垂直，且（a，b，a×b）构成右手系，也就是当右手四指从a握向b时，拇指的指向为a×b的方向.

特别的，规定若a和b有一个为零向量，则a×b=0.

由定义可以看出，向量a和b的外积为0等价于a和b的夹角正弦值为0，等价于a和b的夹角是0°或者180°，也就等价于向量a和b共线.

图4-9

而a×b的方向则给出了从a到b的旋转定向.

例如（图4-10）陀螺旋转时，线速度v等于角速度ω与矢径向量r的外积，也就是

图4-10

向量外积满足以下运算律：对任意向量a，b，c和任意实数k，有

（1）a×b=-b×a；

（2）ka×b=k（a×b）；

（3）（a+b）×c=a×c+b×c.

容易看到，两个向量的外积运算具有反交换性，且对两个向量分别保持线性.

由外积的运算律不难验证直角坐标系下的外积公式：设a，b在直角坐标系［O；e1，e2，e3］下的坐标分别为（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）.则由外积的定义和运算律知，向量a×b可表示为e1，e2，e3的线性组合

a×b=（a2b3-a3b2）e1+（a3b1-a1b3）e2+（a1b2-a2b1）e3(www.xing528.com)

因此向量a×b的坐标为（a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1）.以行列式的形式表示外积运算，有

1.4.3　混合积

所以平行六面体的体积为S与h的乘积，就等于a×b与c的内积的绝对值，

图4-11

定义 向量a×b与c的内积（a×b，c）称为向量a，b，c的混合积.

已知混合积（a×b，c）的绝对值就是以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积.显然，若a，b，c的混合积等于0，则以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积为0，说明向量a，b，c共面；反过来，若向量a，b，c共面，则以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积为0，也就是a，b，c的混合积等于0.

命题6 三个向量a，b，c共面的等价条件是（a×b，c）=0.

由混合积的性质不难验证直角坐标系下的混合积公式：设a，b，c在直角坐标系［O；e1，e2，e3］下的坐标分别为（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）和（c1，c2，c3），则向量a，b，c的混合积公式如下

（a×b，c）=（a1b2-a2b1）c3+（a2b3-a3b2）c1+（a3b1-a1b3）c2，

若表示成行列式的形式，则有