向量与数的乘法：向量的线性运算

特别地，当k=±1时，有

数乘向量满足以下规律（k，l为实数）：

（1）ka=ak（交换律）；

（2）k（la）=（kl）a（结合律）；

（3）（k+l）a=ka+la，k（a+b）=ka+kb（分配律）；

（4）若k≠0，ka=kb，则a=b；若a≠0，ka=la，则k=l（消去律）.

向量加法与数乘向量，统称向量的线性运算.设任意二实数k，l，与两个向量a，b的运算ka+lb，称为向量a，b的线性运算.

显然，当k=l=1时，为a+b；当l=0时，为ka.因此，向量的线性运算包含向量加法和数乘向量.(www.xing528.com)

线性运算又称线性组合，即ka+lb为a与b的线性组合.若c=ka+lb，又称向量c可被a与b线性表示.这些都是线性代数课程中讨论的概念，其几何意义在于向量共线与共面的问题.

关于向量共线与共面有以下常用的结论（大家可作为练习自行证明）：

结论1　零向量与任何向量共线.

结论2　若向量a与b有等式a=kb成立，则a与b共线（即数乘向量与原向量平行）.

结论3　向量a与b共线的充分必要条件是存在不全为零的数k1，k2，使得k1a+k2b=0成立.

结论4　若向量a，b，c满足关系k1a+k2b=c（k1，k2为实数），则a，b，c三向量共面.

结论5　3个向量a，b，c共面的充分必要条件是存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k1a+k2b+k3c=0成立.