集中量数及其区别-小学教育专业教育综合教程

集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势的量，它反映出频数分布中大量数据向某一点集中的情况，在量尺上表现为一个点。常用的集中量有算术平均数、中位数等，最常用的集中量数是平均数。

（一）算术平均数

算术平均数通常称平均数、均值或均数，是所有观察值的总和除以总频数所得之商，用表示。其确定平均数的代数公式为：设X1、X2⋯XN为各次观察的结果，则有：

其中表示平均数，Xi（i＝1，2⋯N）表示每个观察值，∑Xi为Xi的总和，N表示观察值的个数。

平均数是最严密、最可靠、最简单、应用最广泛的一种集中量数，常用来估计、比较研究对象的总体水平。但是它容易受极端数值（极大或极小）的影响。当观察对象较多，可靠性要求高的时候，可用平均数说明问题。如果观察对象较少，或者其中含有极端数值，用平均数作代表值就未必合适。因此，它适用的条件是一组数据中每个数据都比较准确、可靠、无极端数值的影响。

（二）中位数

中位数是指一组按大小顺序排列起来的量数中的中间点的数，又称中数，用Md表示。这个数可能是数据中的某一个，也可能不是原来的数。如果数据个数为奇数，中位数的位置在处，若N为偶数，就以居中的两个数据的平均数为中位数。例如：70，74，84， 86，88中，中数为84。在70，74，82，86，88，90 中，中数为。

中数的计算缺乏灵敏性，它不受数据分布中两端数据的影响。根据全部观察值的数目来确定中位数，这样计算出来简明易晓，便于计算。但是，我们应该确定的是，中数乘总次数并不等于原数值的总和，其用途不如平均数运用得广泛。(www.xing528.com)

（三）众数

众数是在一组数据中出现频率最高的数值，常用M表示。通常来看，众数一定是本组数据中的一个值，算术平均数和中数却不一定。例如：25，20，19，17，16，16，16，14，11，10，9中的众数为16。

算术平均数、中位数、众数的区别：

1.在反应敏感性方面，算术平均数的敏感度最高，能够随着数据中的任何数值发生或大或小的变化。中数和众数反应比较迟钝。当数据的个数不变，不管处于两端的数值发生多大变化，中数都不会随之变化。而众数不受个别数据变动的影响，它只是出现频率最大的数据。

2.在受抽样变动影响方面，从同一个总体中随机抽取的容量相同的样本，计算出的算术平均数与其他集中量数相比，抽样误差较小。

3.算术平均数是在计算方差、标准差、相关系数以及进行推断统计时必不可少的，而中数和众数则不能再进一步运算。