正方形的特征与几何方法融合，谢尔宾斯基艺术品探索

波兰数学家谢尔宾斯基制造出了两件绝妙的“艺术品”——衬垫和地毯．如上图，把一个正三角形均分成四个小正三角形，挖去其中间一个，然后在剩下的三个小正三角形中分别再挖去各自四等分后的中间一个小正三角形，如此下去可得到谢尔宾斯基衬垫．这些小正三角形的周长越来越大，它们的面积和却趋于0．

知能概述

正方形作为完美的图形，既反映了特殊四边形的所有特征，又能与图形变换等重要的几何方法融为一体．

由于正方形与直角三角形联系在一起，所以解正方形相关问题，常用到勾股定理，具有代数风格，体现了数形结合思想．

熟悉下列基本图形、基本结论：

问题解决

例1　如图，在直角梯形ABCD中，AB＝BC＝4，M为腰BC上一点，且△ADM为等边三角形，则S△CDM∶S△ABM ＝________．

（四川省竞赛题）

解题思路　AB＝BC＝4，∠C＝90°，为构造正方形创造了条件．

纯粹数学这门科学，就其现代发展而言，可以说是人类精神之最具独创性的创造．

——怀特海

完美正方形

若一个大正方形分成若干个小正方形，且每个小正方形边长都不相等，这样的正方形叫“完美正方形”．

自1939年构造出第一个完美正方形后，许多数学家相继构造出完美正方形．

1978年荷兰数学家杜伊维斯廷发现了如上图的21阶完美正方形，同时他宣称：低于21阶的完美正方形不存在．

例2　如图，以Rt△BCA的斜边BC为一边在△BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝，那么AC的长为（　）．

（浙江省竞赛题）

解题思路　AO，AB，AC不在同一个三角形中，构造全等三角形，寻找相等的线段，使分散的条件集中在同一个三角形中．

例3　如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，F是DA的中点，连接BE与CF相交于点P，求证：AP＝AB．

（北京市竞赛题）

解题思路　能证明∠APB＝∠ABP吗？通过作辅助线，转化问题．利用中点E，F，发现CF与BE的位置关系，这是解题的基础．

例4　如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．

（1）求证：GF＝GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

（北京市中考题）

解题思路　对于（2），先猜后证，因所求数量关系的两条线段不在一个三角形中，故解题的关键是恰当“移动”相关线段，构造全等三角形或实施几何变换．

例5　如图，以ABCD各边向外作正方形，求证：所得4个正方形的中心恰是某个正方形的顶点．

（俄罗斯莫斯科市数学奥林匹克试题）

解题思路　即证明四边形PQRS为正方形，证题的关键是发现多对全等三角形．

你能证明下列结论吗？

（1）如图，已知正方形ABCD，若EF＝GH，则EF⊥GH，反之亦然．

（2）如图，若在△ABC外部作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，则S△ABC＝S△AEG．

根据问题的有关信息和图形结构的特点，恰当选择正方形的性质，并运用全等三角形、特殊三角形的知识与方法，是解正方形问题的基础．

例6　如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足EF＝BE＋DF，AE，AF分别与对角线交于点M，N．求证：（1）∠EAF＝45°；（2）MN2＝BM2＋DN2．

（四川省竞赛题）

分析与解　（1）如图，延长CD至点E1，使DE1＝BE，连接AE1，则△ADE1≌△ABE．

从而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，

于是，∠EAE1＝90°．

在△AEF和△AE1F中，

EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，

则△AEF≌△AE1F．

故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．

（2）如图，在AE1上取一点M1，使得AM1＝AM，连接M1D，M1N．则△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，

故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．

因此，∠NDM1＝90°，

从而，M1N2＝M1D2＋ND2，

所以，MN2＝BM2＋DN2．

例7　（1）以△ABC的边AB，AC为边各向外作一个正方形（见图①），中心分别为O1，O3，D为BC中点．求证：O1D与O3D垂直并且相等．

（江苏省南京市中考题）

（2）以任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为边各向外作一个正方形（见图②），中心分别为O1，O2，O3，O4．求证：O1O3与O2O4垂直并且相等．

（山西省太原市竞赛题）

证明　（1）如图①，连接CB′，BC′．以A为中心，分别将B点、C′点绕A点按顺时针方向旋转90°，于是B点到B′点，C′点到C点，这就是说：线段BC′绕A点旋转90°后完全落到线段B′C上．从而可知，线段BC′与B′C垂直且相等．

连接BB′，C′C，可证DO1，DO3分别是△BB′C及△CBC′的中位线，从而有

对于例6，在条件不变的情形下，可发掘如下更多的结论：

（1）△EFC的周长等于正方形边长的2倍；

（2）点A到EF的距离等于正方形的边长；

（3）MF⊥AE，AM＝FM，NE⊥AF，AN＝EN；

（4）S△AEF＝2S△AMN．

一题多得，一题多用．例6是一道典型例题，在相同的条件下可推得多个结论，融合了丰富的知识与方法，通过简化图形、改变背景等方式，可生成许多新的问题，而该题是解决这些问题的基础与出发点．

交换条件或结论的任一个，其他的结论仍成立，由此生成形态各异但本质相同的正方形相关问题．

对于例7，（1）是（2）的基础，用旋转变换的观点看，简单而直触问题的本质．

由于CB′和BC′垂直且相等，所以O1D与O3D亦垂直且相等．

（2）如图②，①连接BD，取BD中点O，连接OO1，OO2，OO3，OO4．

②对于△ABD，由（1）小题的结论可知：OO1与OO4垂直且相等，对于△BCD，同理有OO2与OO3垂直且相等．

③类似（1）题的证法，线段O1O3绕O点按顺时针方向旋转90°，完全落在线段O4O2上，所以线段O1O3与O2O4垂直且相等．

构造正方形

正方形是一种简单而完美的图形，有许多有趣而美妙的性质，解题时，联系题设和结论，若能构造正方形，则能充分彰显正方形的特征．

例8　（1）如图①，在Rt△BCD中，CD＝CB，∠BCD＝90°，E为△BCD内一点，且DE＝DC，BE＝CE．求∠CDE的度数；

（2）如图②，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC＝45°，BD＝2，CD＝3，求AD的长．

运用等腰直角三角形、45°角、正多边形等是构造正方形的常见方法．

1．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝________．

（江苏省竞赛题）

（第1题）

（第2题）

（第3题）

2．如图，正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2，3，且点B，C，G在同一条直线上，M是AE的中点，连接MF，则MF的长为______________．

（浙江省竞赛题）

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，AC＝13．若以AC为边作正方形ACDE，那么△BCE 的面积等于________．

（福建省竞赛题）

正方形的特点为旋转变换创造了必要的条件．一般地，我们总是将正方形的局部绕某个顶点旋转90°．

例7（2）所展现的即凡·奥贝尔定理．

佩雷尔曼，俄罗斯数学家，于2002年证明了“庞加莱猜想”．

Q．E．D意为“证明完毕”，是“证明之美”的同义词．

英国《自然》杂志上有一篇文章这样评价他：“佩雷尔曼的生命只属于他心中的信仰——数学！他不需要任何奖赏、资金和职位．”

4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE＝1，F为AB边上一动点．连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为________．

（江苏省宿迁市中考题）

（第4题）

（第5题）

（第6题）

5．如图，把一边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为________．

（浙江省竞赛题）

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝，则另一直角边BC的长为________．

（“希望杯”邀请赛试题）(www.xing528.com)

7．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（　）．

A．70　B．74　C．144　D．148

（江苏省竞赛题）

（第7题）

（第8题）

（第9题）

8．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（　）．

A．1　B．2　C．3　D．4

（重庆市中考题）

9．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC，DC分别交于点G，F，点H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：

①EG＝DF；　②∠AEH＋∠ADH＝180°；

③△EHF≌△DHC；　④若，则3S△EDH＝13S△DHC．

其中结论正确的有（　）．

A．1个　B．2个　C．3个　D．4个

（云南省昆明市中考题）

10．如图，正方形ABCD的面积为64，△BCE为等边三角形，F是CE的中点，AE，BF交于点G，连接CG，则CG等于（　）．

（江苏省竞赛题）

11．如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB的度数为（　）．

A．120°　B．135°

C．150°　D．以上都不对

（江西省南昌市竞赛题）

（第10题）

（第11题）

（第12题）

12．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是（　）．

A．∠EAF＝∠FAB　B．FC＝BC

C．AF＝AE＋FC　D．AF＝BC＋FC

（“希望杯”邀请赛试题）

13．如图，正方形MNBC内有一点A，以AB，AC为边向△ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ，连接RM，BP．求证：BP∥RM．

（湖北省武汉市竞赛题）

（第13题）

（第14题）

14．如图，已知正方形ABCD，BE＝BD，CE∥BD，BE与CD交于点F．证明：DE＝DF．

（四川省竞赛题）

15．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F （点F与点A，B不重合）．

（1）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（2）求△AEF的周长．

（第15题）

（江苏省泰州市中考题）

16．如图①，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17，10，13，图②中的DPQR为矩形，对照图②求图①中ABCIGH的面积．

（江苏省竞赛题）

（第16题）

（第17题）

17．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，以AD，BC为边分别向外作正方形ADEF与正方形BCGH，I为线段EG的中点，连接ID，IC．求证：ID＝IC．

（全国初中数学联赛题）

18．如图，正方形AEDB，ACFG共顶点A，点O1，M，O2，N分别为AD，BC，AF，EG的中点．求证：O1MO2N是正方形．

（俄罗斯数学奥林匹克试题）

（第18题）

（第19题）

19．如图，四边形ABDE和ACFG都是正方形，M是BC的中点，延长MA交EG于点H．

求证：（1）AM＝EG；

（2）AH⊥EG；

（3）EG2＋BC2＝2（AB2＋AC2）．

（“希望杯”邀请赛试题）

20．如图，已知M，N分别为正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，DN－BM＝MN，DP⊥AN交AM于点P，求证：PA＋PC＝

（第20题）

例1　2　如图，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE为正方形，由△ABM≌△AED，得BM＝DE，CM＝CD，令CM＝CD＝x，则x2＋x2＝42＋（4－x）2．

得x2＝32－8x．

于是，

（例1）

例2　选B　在AC上取一点G，使CG＝AB＝4，连接OG，∠OCG＝∠OBA，则△OGC≌△OAB，得OG＝OA＝，∠AOG＝90°，△AOG为等腰直角三角形，AG＝12，故AC＝16．

例3　下面证法仅供参考：

延长CF，BA交于点H，由Rt△DFC≌Rt△CEB，可推得∠BPF＝90°．又Rt△DFC≌Rt△AFH，得DC＝AH＝AB，PA为Rt△PHB斜边中线，故AP＝AB．

例4　（1）连接DF，由△DFG≌△DCG得GF＝GC．

（2）由（1）可得∠EDH＝45°，DE＝HE，过点H作HM⊥AB于点M，由△DAE≌△EMH，得AE＝HM，DA＝EM＝AB，得AE＝BM，从而BM＝MH，BH＝

例5　∵

∠DCB＋∠ADC＝180°，∠EDN＋∠ADC＝360°－∠EDC－∠NDA＝180°，

∴∠DCB＝∠EDN，

∴∠QCR＝∠QCB＋∠BCD＋∠DCR＝∠BCD＋90°＝∠EDN＋90°＝∠SDR．

又∵RC＝RD，

∴△QCR≌△SDR，∴QR＝RS．

同理QP＝QR，PQ＝PS，即PQ＝QR＝RS＝SP．

∴四边形PQRS为菱形，∵∠QRC＝∠SRD，

∴∠QRS＝∠QRD＋∠DRS＝∠QRD＋∠QRC＝∠DRC＝90°，

∴四边形PQRS为正方形．

例8　（1）如图①，作出等腰Rt△BCD关于BD对称的等腰Rt△BAD，则四边形CBAD为正方形，△ABE≌△DCE，△ADE为等边三角形，可得∠CDE＝30°．

（2）如图②，分别以AB，AC为对称轴，作出△ADB，△ADC的对称△AGB，△AFC，并延长GB，FC交于点E，则四边形AGEF是正方形，设AD＝x，由BC2＝BE2＋CE2得（x－2）2＋（x－3）2＝52，解得x＝6．

（例8）

1．45°　连接CP．

2．连接DM并延长交EF于N点，则△ADM≌△ENM，FN＝1．

10．D　△CGE为等腰直角三角形．

11．B　将△ABP绕B点顺时针旋转90°，得△BP′C，连接PP′．

12．D　FC＝BC．

13．连接RN，MP，△MCP≌△BAC≌△BRN，则RB＝MP，又△RNM≌△PCB，则RM＝BP，从而四边形RBPM是平行四边形，故BP∥RM．

14．分别过点C，E作CG⊥BD于点G，EH⊥BD于点H，则CG＝EH＝BD，可得∠DFE＝∠BED＝75°，故DE＝DF．

15．（1）CF⊥AB，证明略．

（2）过点C作CN⊥BP于点N，则△ABP≌△PNC，四边形BFCN为矩形，PB＝BF，△AEF的周长＝（8＋PB）＋（8－BF）＝16．

16．62　S△DEF＝S△AHE＝S△BDC＝S△GFI＝3×4－×1×4－×1×3－×2×3＝5．5．

17．作DJ⊥AB于点J，CK⊥AB于点K，过E，I，G分别作直线DC的垂线，J′，O，K′为垂足，则J′D＝DJ＝CK＝CK′，又J′O＝K′O，则DO＝CO，故ID＝IC．

18．参见例7．

19．对于问题（3），连接BG，CE，可证明BG⊥CE，进一步可推得结论．

20．在DC上截取DE＝BM，连接AE，过点D作DH⊥DP交PA的延长线于点H．可证明△DAE≌△BAM，△NAE≌△NAM，△PDH为等腰直角三角形，△HDA≌△PDC，PC＝HA，PA＋PC＝PA＋AH＝PH＝