水泥混凝土路面的力学特性与计算理论

（一）力学特性

水泥混凝土路面其面层的刚度远大于基（垫）层和路基的刚度，与柔性路面相比在车载作用下，具有良好的板体性和扩散荷载的能力，所产生的弯曲变形（挠度）很小，荷载通过混凝土板体的扩散分布作用，传递到基础上的单位压力，较柔性路面小得多。是典型的刚性路面。

按现行的设计理论，在荷载作用下，水泥混凝土路面板内产生的最大应力不超过比例极限应力，即混凝土板工作在弹性阶段；此时基层和土基所承受的荷载单位应力及产生的变形也很小，它们也工作于弹性阶段；同时，由于混凝土板与基层或土基之间的摩擦力一般不大，所以在力学图式上可把水泥混凝土路面结构看作是弹性地基板；考虑到混凝土路面板的厚度不到其平面尺寸的1/10，荷载作用下板的挠度又远小于其厚度，因此可把混凝土板看作弹性薄板，求解位移和应力时可应用小挠度弹性薄板理论。

（二）强度构成与设计要求

对于水泥混凝土路面，一方面混凝土面板分布扩散荷载能力强，车载作用主要由混凝土板本身承担；另一方面由于混凝土的抗折强度比抗压强度低得多，在车载的重复作用下，混凝土板处于多次弯曲受力状态，并在低于其极限抗折强度时产生折断破坏，所以水泥混凝土路面的强度构成主要考虑混凝上面层（面板）疲劳抗折强度，并与荷载作用程度及板的结构尺寸，尤其是厚度相关。

此外，由于板顶面和底面的温差会使板产生温度翘曲应力，板的平面尺寸越大，翘曲应力也越大。另外，水泥混凝土又是一种脆性材料，它在断裂时的相对拉伸变形很小。因此，在荷载作用下土基和基层的变形情况对混凝土板的影响很大，不均匀的基础变形会使混凝土板与基层脱空，在车轮荷载作用下板产生过大的弯拉应力而遭破坏。

基于上述，为使路面能够经受车轮荷载的多次重复作用、抵抗温度翘曲应力，并对地基变形有较强的适应能力，混凝土板必须具有足够的抗弯拉强度和厚度、适当的平面尺寸和基础条件。

（三）小挠度弹性薄板的基本假设与力学模型

基于水泥混凝土板刚度大、变型小、良好板体性和扩散能力及导致基础变型较小，水泥混凝土路面的力学模型被认定为弹性地基上小挠度弹性薄板，如图8-29所示。

图8-29　弹性地基板受荷时的弯曲

h—板厚；w（x，y）—板的挠度，也即基础表面的竖向位移；p（x，y）—作用于板表面竖向荷载；q（x，y）—基础对板底面作用的竖向反力；x，y—板中面h/2处坐标系

在研究表面为局部范围内的轮载，底面为地基反力作用下的薄板弯曲时，通常采用下述两项基本假设：

（1）竖向应力σz和应变εz同其他应力和应变分量相比很小，可以忽略不计。由此，竖向位移（即挠度）w仅是平面坐标（x，y）的函数，也即沿板厚各点具有相同的w。

（2）在板与地基的两接触面之间没有摩阻力（可以自由滑动），即拉触面上的剪应力视为零。

（四）水泥混凝土路面荷载应力分析

考虑小挠度弹性薄板的基本假设，板内应力状态原为三维的可简化成为平面问题，应用几何方程得到应变和竖向位移关系式：

式中　z——离板中面的竖向距离。

应力和应变的关系式便可表示为

各截面上的内力（弯矩和扭矩）可通过对式（8-38）积分后得到：

式中　E、ν——水泥混凝土的弹性模量和泊松比；

　　　D——水泥混凝土板的刚度，D＝；

　　　h——板厚。

从板上割取长和宽各为dx和dy高为h的单元，作用于单元上的内力和外力如图8-30所示。由单元应满足的平衡条件：∑Fz＝0，∑Mx＝0和∑My＝0，并在略去高阶微量后，可导得内力与荷载的关系式：

利用式（1-3），可把上式改写为挠度和荷载的关系式：

简记为D▽2▽2w＝P－q

式中　▽2——拉普拉斯算子，即。

图8-30　单元上受力分析示意图

为了建立地基反力同挠度之间的关系，通常采用如下两种不同的地基假设：

（1）稠密液体（Winkler）地基假设。地基上任一点的反力仅同该点的挠度成正比，而同其他相邻点的挠度无关，即

式中　k——地基反应模量，kN/m3。

（2）半无限地基假设。地基为弹性半无限体，其顶面上任一点的挠度不仅同该点的压力，也同其他各点的压力有关，即

考虑基于地基假设的地基反力与挠度间关系式，按各种边界条件解四阶微分方程（8-41），求得挠度w（x，y），将其代入式（8-37）、式（8-38）、式（8-39）后，可分别获得应变、应力和内力值。

（五）文克勒地基条件下板荷载应力分析结果

文克勒地基是以反力模量k表征的弹性地基。它假设地基上任一点的反力仅同该点的挠度成正比，而与其他点无关，即地基相当于由互不相联系的弹簧组成如图8-31（a）所示。这一假说首先由捷克工程师文克勒（E.Winkler）提出，故称文克勒地基。地基反力q（x，y）与该点的挠度w（x，y）的关系为

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式中　k——地基反力模量，N/cm3。

威斯特卡德（H.M.Westrgaard）采用这一地基假说，分析了图8-32所示三种车轮荷载位置下板的挠度和弯矩，即：①轮载作用于无限大板中央，分布于半径为R的圆面积内；②轮载作用于受一直线边限制的半无限大板的边缘，分布于半圆内；③轮载作用于受两条相互垂直的直线边限制的大板的角隅处，压力分布的圆面积的圆心距角隅点为。

图8-31　不同假设地基的表面变形

（a）文克勒地基；（b）弹性半空间体地基

图8-32　三种荷载位置

在解微分方程式（8-41）时，附加q＝kw并引入边界条件得出挠度w，再代入式（8-38）。最后得如图8-31三种荷载情形的最大应力计算公式。详细内容见（方福森主编《路面工程》P191～193）。

（六）弹性半空间体地基条件下板荷载应力分布结果

弹性半空间体上板的平面尺寸大小决定了板的刚柔程度，可划分为三个类型：绝对柔性板，（又称无限大板）S＞10；有限刚性板（又称有限尺寸板），0.5＜S＜10；和绝对刚性板，S＜0.5。S为板的刚性指数，计算式为

式中　Ec、Es——混凝土板与基础模量；

　　　νc、νs——混凝土板与基础泊松比；

　　　h——为混凝土板厚度；

　　　RB——与混凝土板面积相等的圆形板的半径。

1.无限大板时

考虑如下两种计算图式：

其一为荷载作用于板中，得到圆形均布荷载下板在单位宽度内所产生的最大弯距（见图8-33）为

当轮载距计算点一定距离时，可作为集中荷载，则距集中荷载作用r处板在单位宽度内的弯矩（见图8-34）为

上两式中Mr——单位板宽内的幅向弯距，MN·m/m；

Mt——单位板宽内的切向弯距，MN·m/m。

有关计算参数的确定详见方福森主编《路面工程》P195～197。

按下式求解出板中弯拉应力：

式中　M——板中弯矩；

　　　h——混凝土板厚度。

图8-33　在无限大圆板上的圆形均匀荷载下最大弯矩

图8-34　距离集中荷载作用点为r处的弯距

2.有限尺寸板

实际中的水泥混凝土面板的尺寸都是有限的，真正的无限大板实际上并不存在。对于弹性半空间体地基上有限尺寸板上作用车载时，求解相应挠度和弯矩（属非轴对称课题），欲得到其解析表达式，在数学上遇到的困难是很大的。

然而，有限元法的提出和应用，为这一问题的解决展示了良好的前景。

有限元方法是结构和连续介质应力分析中的一种较新且较有效的计算方法。采用有限元法分析水泥混凝土路面的荷载应力，有着比积分解（解平衡微分方程）优越的地方，表现在：

（1）可以按板的实际大小求解有限尺寸的板，从而消除无限大板的假设所带来的误差（此误差随荷载接近板边缘和相对刚度半径的增大而增加）。

（2）可以考虑各种荷载情况（包括荷载组合和荷载位置），而不必象前述方法那样规定若干种典型的荷位，并且能解算简单的荷载组合情况。因此，可以求得符合实际荷载情况的应力分析。

（3）可以计及板的实际边界条件，如接缝的传荷能力、板和地基的脱空（不连续接触）等。

（4）所解得的结果是整个板面上的位移场和应力场，从而可以更全面地分析板的受荷情况。

考虑某种临界荷位，采用有限元方程进行计算，将计算结果编绘成应力计算用图。如图8-35所示。利用这些图，可根据初拟（或已知）的板厚、板和地基的模量比及轴载大小，确定板内的最大弯曲应力；或者反之，由已知的允许应力值、板和地基的模量比及轴载大小的确定所需要的板厚。查图时可按箭头所示方向和次序，根据已知板厚计算板内应力，或按相反方向根据允许应力来求算板厚。

图8-35　单后轴荷载应力计算图

（a）一侧轮载作用于横缝边缘中部；（b）轴载作用于板中部P—轴载，kN