离散时间车辆系统的数学模型

1.常用的数学模型

与连续时间系统对应，离散时间系统常用的数学模型也有以下4种。

1）差分方程

设系统的输入为｛u（kT）｝，输出为｛y（kT）｝，二者的关系可以表示为

式中，T为采样周期，输出变量的初始条件为y（0），y（T），…，y［（n－1）T］。

2）脉冲传递函数

对式（1.3.31）两边取Z变换，并设输出量y和输入量u及其各阶差分的初始值均为零，可得

称为离散系统的脉冲传递函数。

3）离散状态空间表达式

类似地，差分方程和脉冲传递函数仅仅描述了离散时间系统的外部特性，称为外部模型。引入状态变量序列｛x（kT）｝，则可以构成离散状态空间表达式，它描述了系统的内部特性，属于内部模型，即初始状态向量为X（0）。

4）结构图表示

离散系统结构图表示和连续系统相似，只要将每一个方块内的传递函数换成z函数即可。离散闭环系统结构如图1.3.3所示。

图1.3.3　离散闭环系统结构图

2.连续系统数学模型的离散化

对连续系统的数学模型进行离散化处理，可以求得与其等价的离散模型，基于其离散模型容易实现快速实时仿真，这种仿真方法称为离散相似法。本节主要介绍如何由状态方程和传递函数向离散化状态方程和脉冲传递函数转换。

1）线性状态方程的离散化

设线性状态方程为

其解析解是，其中Φ（t）为状态转移矩阵，Φ（t）＝eAt。

下面由状态方程的解析解来推导系统的离散化方程。给定采样间隔T，对kT和（k＋1）T两个采样点，由上式可得状态变量的值分别为

用eAT左乘式（1.3.35），然后与式（1.3.36）相减，得到

对上式中积分项进行积分代换，令τ＝kT＋t，得

当给定系统输入U（t）后，可根据上式求出离散化的状态方程。

在U（t）未知的情况下，需要对kT和（k＋1）T两个采样时刻之间的输入量U（kT＋t）采用近似方法处理，通常有两种方法。第一种方法是令U（kT＋t）≈U（kT），0≤t≤T，这相当于在输入端加了一个采样开关和零阶保持器，代入式（1.3.38），得到

式中，。

由上面的推导看出，式（1.3.39）是在假设输入量在采样间隔中保持常量推导而得，但U（t）实际上是变化的，因而这样的近似处理会带来误差，如图1.3.4所示。

图1.3.4　输入量U（t）的采样和零阶、一阶保持近似

为了减小误差，第二种方法是通过两点（kT，U（kT）），（（k＋1）T，U（（k＋1）T））作直线逼近U（t），0≤t≤T，这样就有

这相当于在输入端加了一个采样开关和一阶保持器，代入式（1.3.39），得

式中，。

式（1.3.39）和式（1.3.41）为线性连续系统离散化状态方程，输出变量的离散化形式可由输出方程直接确定。Φ（t）、Φm（t）、称为系统的离散化系数矩阵。离散化系数矩阵的计算主要归结为计算状态转移矩阵，这类算法有很多，包括相似变换法、最小多项式计算法、拉普拉斯变换法和指数函数展开法等。以指数函数展开法为例，将eAT展成如下形式

式中，为级数展开的余项，当Rn＋1（AT）收敛到零时，eAT可以用级数的有限项来代替。

可以看出，输入量U（kT＋t）的近似处理会给导出的离散化状态方程带来误差。如果将状态方程化为齐次方程＝AX，则可避免式（1.3.39）中的积分项的近似处理所带来的误差，这种方法称为增广矩阵法。下面列举一些典型输入函数情况下的增广矩阵。

考虑单输入单输出系统（t）＝AX（t）＋B u（t），X（0）＝X0，y（t）＝CX（t）。其中，X（t）为n维状态向量；u（t）、y（t）分别为输入、输出；A、B、C为相应维数的常系数矩阵。

（1）输入为阶跃函数，即u（t）＝u0·1·（t），。令第n＋1个状态变量为xn＋1（t）＝u（t）＝u0·1·（t），则有＝0，且xn＋1（0）＝u0。增广后的状态方程和输出方程可以写为

（2）输入为斜坡函数，即u（t）＝u0（t）。令xn＋1（t）＝u（t）＝u0（t），xn＋2（t）＝＝u0，且xn＋1（0）＝0，xn＋2（0）＝u0，则系统增广后为

（3）输入为指数函数，即u（t）＝u0 e－t。令xn＋1（t）＝u0 e－t，且＝－u0 e－t＝－xn＋1（t），且xn＋1（0）＝u0，系统增广后为

2）传递函数离散化

传递函数离散化有加信号保持器的Z变换方法和两种直接求与传递函数等价的脉冲传递函数G（z）的方法，即替换法和根匹配法。后两种方法简便且易于实现，经常被工程技术人员用作快速实时仿真。

（1）加入采样器和信号保持器。

如果线性连续系统的模型表示为传递函数的形式，则可以在系统中加入采样器和信号保持器，然后由Z变换求出传递函数的离散形式——脉冲传递函数G（z），由此也可得到差分方程。

首先对系统的输入进行采样。假设采样周期为T，由此得到离散的输入量u（kT）（k＝0，1，2，…），然后再利用信号保持器将其恢复为连续信号，在作用到系统G（s）后产生输出y（t），对系统作同样的采样得到y（kT）。上述离散化过程如图1.3.5所示。

图1.3.5　传递函数的离散化过程

由Z变换理论，对应传递函数G（s）的离散传递函数可由下式表示：

式中，Gh（s）为信号保持器g（t）的传递函数。采用不同的信号保持器，就得到不同的脉冲传递函数。表1.3.1给出了3种信号保持器的传递函数和相应系统G（s）的脉冲传递函数G（z）。

表1.3.1　3种信号保持器的传递函数和相应系统G（s）的脉冲传递函数(www.xing528.com)

假设输入信号为g（t），经时间间隔为T的采样后得到离散输入信号g（kT）（k＝0，1，2，…），零阶保持器将kT时刻的采样值作为常量一直保持到（k＋l）T时刻。若用gh（t）表示零阶保持器函数，则

一阶保持器是利用前两个时刻的采样值进行外推，得到g（t）的线性近似函数，即

为了减少信号的失真，还可采用三角形保持器，它是以当前两个时刻的采样值进行内插值得到g（t）的线性近似函数，即

如果在计算gh（t）时，（k＋1）T时刻的采样值g（（k＋1）T）未知，则不能直接采用这种方法，而只能采用滞后一个周期的三角形保持器。图1.3.6表示输入信号g（t）通过零阶、一阶和三角形保持器后的函数gh（t）。

图1.3.6　通过零阶、一阶和三角形保持器后的函数gh（t）

（a）零阶；（b）一阶；（c）三角形

下面以系统G（s）＝1／s为例分别推导出加入零阶、一阶和三角形保持器时系统的差分方程。加入零阶保持器时，根据表1.3.1，有

相应的差分方程为yk＝yk－1＋Tuk－1，称为欧拉公式。当加入一阶保持器时，根据表1.3.1，可得

相应的差分方程为。同样，对三角形保持器也可推导出差分方程为

（2）替换法。

替换法要求出s与z的替换公式，并通过代换将G（s）转换为G（z）。所求的替换公式应使G（z）与G（s）具有同样良好的稳定性和尽可能相同的动态特性。虽然z与s具有关系z＝exp（sT），但这是一个超越函数，必须导出更为简单的替换公式。

假定系统由微分方程表示，由欧拉公式，则有

或

由于，因此比较两式，可得

考虑G（z）的稳定性（即其所有极点全部包含在z平面的单位圆内）与G（s）稳定性的关系，设s＝α＋jβ，由式（1.3.49），有

若G（z）稳定，则极点z必须位于单位圆心内，即

（Tα＋1）2＋T2β2＝1

或

式（1.3.50）说明替换公式（1.3.49）将z平面上的稳定域映射到s平面上以为圆心，为半径的一个圆形区域，如图1.3.7所示。

由梯形公式也可以推导出一种简单而实用的替换公式。由梯形公式

则有

图1.3.7　欧拉变换在s平面和z平面上稳定区域的对应关系

（a）s平面；（b）z平面

可得

替换公式（1.3.53）也称为图斯汀替换，相应的仿真方法称为图斯汀方法。

按照与前面相同的方法考察其稳定性，有

由式（1.3.54）可知，当α≤0时，，也就是说采用图斯汀公式（1.3.53）映射，s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内，如图1.3.8所示。因此，如果原来系统G（s）是稳定的，由图斯汀公式（1.3.53）导出的G（z）亦然。

图1.3.8　图斯汀变换在s平面和z平面上稳定区域的对应关系

（3）根匹配法。

另一种直接由传递函数G（s）求相应G（z）的方法是根匹配法。设线性连续系统的传递函数为

式中　K——系统的增益；

zi、pj——零点、极点。

系统的特性完全由增益K和零点zi、极点pj所确定。

根匹配法的主要思想就是利用z与s的转换关系z＝exp（sT），求出z平面上对应的零点、极点位置，得到

当n≥m时，在s平面的无穷远处，实际上还存在n－m个零点，可以认为它处在s平面负实轴的无穷远处，即。那么，由关系，对应原点上的n－m个零点，脉冲传递函数写成

如果G（s）是稳定的，则极点pj位于s平面的左半平面，那么exp（pjT）必位于z平面的单位圆内，所以G（z）也一定稳定，且与采样周期T无关。另外，Kz可由某些特性点（如终值）来确定。

例：给定一个二阶系统的传递函数，试用替换法求系统的脉冲传递函数G（z）及差分方程（令T＝1）。

解：用图斯汀替换公式（1.3.53），有

作反变换的差分方程为

y（k＋1）＝1.11y（k）－0.852y（k－1）＋0.185u（k＋1）＋0.37u（k）＋0.185u（k－1）