学习误差传播律实践与技巧

2.1.1　误差传播律概述

前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系D=Scosα来推算。显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。

设有一般函数

Z=f（X1，X2，…，Xn）

式中　X1，X2，…，Xn——可直接观测的未知量；

Z——不便于直接观测的未知量。

设Xi（i=1，2，…，n）的独立观测值为Li，其相应的真误差为Δxi。由于Δxi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差ΔZ。因此若函数Z的中误差为mZ，各独立变量Xi（i=1，2，…，n）对应的观测值中误差分别为mi（i=1，2，…，n），只要知道了mZ与mi之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与其函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。

2.1.2　线性函数误差传播定律

线性函数形式：

F=f1x1+f2x2+…+fnxn

条件：观测值x1，x2，…，xn，相互独立，其中误差m1，m2，…，mn。

函数F的中误差：mF=±

（1）对于和差函数Z=±x±y。

如果

mx=my=m

则

当Z是n个独立观测值的代数和时，即

Z=±x1±x2±…±xn

可推得

如果

m1=m2=…=mn=m

则(www.xing528.com)

（2）对于倍数函数Z=kx，有

mZ=kmx

2.1.3　非线性函数误差传播定律

设有非线性函数Z=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1，2，…，n）为独立观测量，并设Xi的中误差为mi，为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函数处理。

函数形式

z=f（x1，x2，…，xn）

全微分

用真误差替代

用中误差的形式表示

2.1.4　误差传播定律的应用

1.应用误差传播定律的步骤

（1）列出正确的函数模型（注意：模型符合测量事实；观测量各自独立）。

（2）非线性函数线性化。

（3）运用误差传播定律。

2.应用举例

【例3.2】　设对某量进行了n次等精度观测，其观测值分别为l1，l2，…，ln，每一观测值的中误差为m，算术平均值为L，求算术平均值的中误差M。

【解】

【例3.3】　在1∶500的地形图上测量两点间的距离，图上的距离d=42.3mm，在地形图上量距误差md=±0.2mm，求实地距离及mD。

【解】

D=500d=500×42.3mm=21150mm=21.15（m）

mD=500md=500×（±0.2mm）=±100mm=±0.1（m）