单向压弯构件弯矩平面内整体稳定

目前各国设计规范中压弯构件弯矩作用平面内整体稳定验算多采用相关公式法，即通过理论分析，建立轴力与弯矩的相关公式，并在大量数值计算和试验数据的统计分析基础上，对相关公式中的参数进行修正，得到一个半经验半理论公式。利用边缘屈服准则，可以建立压弯构件弯矩作用平面内稳定计算的轴力与弯矩的相关公式。

在轴心压力和弯矩M作用下压弯构件的稳定承载力，根据边缘纤维屈服准则，其表达式为

式中　mmax——按压弯构件二阶效应考虑的最大弯矩。

式中　vmax——构件中点的最大挠度。

对轴心受力构件，轴心压力N对初挠度有放大作用，其放大系数为1/（1－N/NEx）经计算研究，该放大系数同样可近似地用于对其他荷载（横向荷载、端弯矩等）作用下产生的挠度的放大。现设在其他任意荷载作用下构件中点产生的挠度为v1m如图6.12，图中所示为两端作用相等弯矩，挠曲线为正弦曲线半波，则vmax＝v1m/（1－N/NEx），故式（6.12）可写为（为简化计算，末考虑v0m）

式中　η——弯矩增大系数

βmx——等效弯矩系数，

由上式可见，弯矩增大系数η＝Mmax/Mx，即为压弯构件的最大弯矩与任意荷载作用下（不考虑N，按简支梁计算）的最大弯矩Mx之比。它表达了轴心压力N对Mx的增大作用。针对已变形结构分析它的平衡通常称为二阶分析，故式（6.13）Mx的最大弯矩称为二阶弯矩。不考虑变形对外力效应的影响通常称为一阶分析，故Mx称为一阶弯矩。

下面仍以图6.12所示两端作用相等弯矩的压弯构件为例对最大弯矩进行计算。按一阶分析，杆中弯矩为Mx，挠度v1＝Mxl2/8EI。根据二阶分析

最大弯矩按式（6.12）或式（6.13）为

图6.12　两端作用等弯矩的压弯构件

上式中的分子括号项（1＋0.243N/NEx）即式（6.13）中的弯矩等效系数比βmx。用相同方法还可以计算其他荷载类型的βmx值:如构件中点有一个横向集中荷载作用时，βmx＝1－0.178N/NEx；构件全长受有均布荷载作用时，βmx＝1－0.028N/NEx；有端弯矩和横向荷载同时作用，使构件产生反向曲率（端弯矩不同号）时、βmx＝1－0.589N/NEx。

等效弯矩系数βmx的含义相当于将各种非均匀分布弯矩换算成假想为均匀分布的一阶弯矩，即按弯矩等效原理采用的等效均匀弯矩Meq＝βMx也可以说按弯矩等效原理，等效均匀弯矩在其和轴心力共同作用下对构件弯矩作用平面内失稳的效应与原来非均匀分布的弯矩和轴心力共同作用下的效应相同。

现在利用式（6.13）并考虑构件中点的等效初挠度v0m（挠曲线也为正弦曲线半波）的影响，则

将上式代入式（6.11），即得有初始缺陷压弯构件截面边缘纤维屈服时的表达式

式（6.14）中用来考虑各种初始缺陷综合影响的v0m，因影响因素众多，故其具体数值较难确定。但当上式中Mx＝0时，则式中的N就等于有等效初挠度v0m的轴心受压构件的稳定承载力，从而可间接地考虑各种初始缺陷的影响。

令式（6.14）中Mx＝0，并取式中N＝φxAfy（轴心受压构件的稳定承载力），可得

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和

将v0m值代入式（6.14），经整理后即得压弯构件边缘纤维屈服准则的相关公式

式（6.17）考虑了压弯构件的二阶效应和构件的综合缺陷，是按边缘屈服准则得到的，由于边缘屈服准则以构件截面边缘纤维屈服的弹性受力阶段极限状态作为稳定承载能力极限状态。因此对于绕虚轴弯曲的格构式压弯构件以及截面发展塑性可能性较小的构件（如冷弯薄壁型钢压弯构件），可以直接采用式（6.18）作为设计依据。对于实腹式压弯构件，应允许利用截面上的塑性发展。经与试验资料和数值计算结果的比较，可采用下列修正公式:《钢结构设计规范》对11种常用截面进行了计算比较，认为将式中第二项分母中的φx修正为常数0.8可得最优结果。引入抗力分项系数（将上式中fy和NEx都除以γR）和允许部分截面发展塑性的截面塑性发展系数γx后，则上式可写为《钢结构设计规范》规定的设计公式

式中　N——所计算构件段范围内的轴心压力；

Mx——所计算构件段范围内的最大弯矩；

N′Ex——参数，N′Ex＝π2EA/（1.1），即欧拉临界力NEx除以抗力分项系数的平均值γR＝1.1；

φx——弯矩作用平面内的轴心受压构件稳定系数；

W1x——在弯矩作用平面内对较大受压纤维的毛截面模量；

βmx——等效弯矩系数，应按下列规定采用。

（1）框架柱和两端支承的构件。

1）无横向荷载作用时:βmx＝0.65＋0.35M2/M1，M1和M2为端弯矩，使构件产生同向曲率（无反弯点）时取同号，使构件产生反向曲率（有反弯点）时取异号，|M1|≥|M2|。

2）有端弯矩和横向荷载同时作用时:使构件产生同向曲率时，βmx＝1.0，使构件产生反向曲率时，βmx＝0.85。

3）无端弯矩但有横向荷载作用时:βmx＝1.0。

（2）悬臂构件和分析内力未考虑二阶效应的无支撑纯框架和弱支撑框架柱，βmx＝1.0。

图6.13　焊接工字形截面压弯构件的相关曲线

《钢结构设计规范》采用的等效弯矩系数是对前面式（6.13）计算的理论βmx值作了近似简化，且对较多荷载情况都按βmx＝1.0取值。按理，只有当构件承受的弯矩图形为正弦曲线半波时才有βmx＝1.0。当弯矩图形比正弦半波曲线更丰满时，如两端作用相等弯矩的矩形弯矩图形，其βmx应该大于1.0（理论值为1＋0.234N/NEx）。然而确定βmx时采用的弯矩等效原理是取均匀弯矩为基准以用于比较，故需取为1.0，只是稍偏于不安全。相对于均匀弯矩取βmx＝1.0，则其他一些荷载类型的βmx均可小于1.0（如无端弯矩但构件中点有一个横向集中荷载作用时，理论值为1－0.178N/NEx），现在简化取值为βmx＝1.00，虽略显保守，但偏于安全。图6.13所示为焰切边的焊接工字形截面压弯构件应用式（6.18）相关公式的计算结果与理论值的比较，可见吻合程度较好。式（6.18）所示双项相关式中的第一项主要反映N的影响，即轴心受压构件绕x轴整体稳定的计算公式；第二项主要反映M的影响，即受弯构件考虑压力对弯矩的增大影响和部分截面发展塑性绕x轴的强度计算公式，由此可见，它不仅从形式上能将N和M等各种因素对构件整体稳定的影响程度直观地表达出来而且还能与轴心受压构件整体稳定计算公式（当式中M＝0时）和受弯构件强度计算公式（当式中N＝0和βmx＝1时）达到协调和衔接。

对单轴对称截面压弯构件（如T形或槽形截面），当弯矩作用在对称轴平面内且使较大翼缘受压时，还有可能在较小翼缘或无翼缘端，因产生较大拉应力而首先发展塑性使构件失稳，此时轴心压力N产生的压应力将减小弯矩产生的拉应力，故尚应按下式对其进行计算

式中　W2x——在弯矩作用平面内对较小翼缘或无冀缘端最外纤维的毛截面模量；

γx——相应于W2x的塑性发展系数。

根据上述，对单轴对称截面压弯构件，当弯矩作用在对称轴平面内且使较大翼缘受压时按式（6.18）计算外，尚应按式（6.19）计算。