4.2.3轴心受压构件整体稳定，弯曲屈曲-钢结构设计原理

1．轴心受压构件的失稳形式

屈曲（失稳）分为：弯曲屈曲、扭转屈曲、弯扭屈曲（图 4.19）。形心与剪心不重合的截面可能会发生弯扭屈曲，形心与剪心重合（如双轴对称截面），则只会发生弯曲失稳或者扭转失稳。计算扭转失稳、弯扭失稳，比计算弯曲失稳复杂，设计时，可通过构造措施合理安排荷载传递路径，降低扭转荷载的影响，也可以通过调整长细比，使弯曲失稳控制设计。

图4.19　压杆三种失稳形态

稳定属于平衡问题，实际结构或构件失稳属于“极值点失稳”，但“平衡分支稳定”计算相对简单些，不但结构有失稳破坏的概念，很多领域（数学、经济学等）都涉及“失稳”的概念，其本质可参阅专门书籍。虽然屈曲计算理论上较为复杂（特别是考虑到各类几何缺陷、力学缺陷时），但设计标准采用的设计公式较为简单易用，钢结构设计标准用于计算实腹式轴心受压构件整体稳定的公式为：

式中：N为构件所受轴心压力设计值；A为构件毛截面面积；f为材料强度设计值；φ称为轴心受压构件的稳定系数（可由构件长细比λ查表得到）。虽然设计公式较为简单，但稳定系数表格的制定涉及大量的理论计算和经验数据修正。

2．轴心受压构件的弯曲失稳

1）理想柱的欧拉公式和构件有效长度

假设构件横向变形很小，采用近似曲率微分方程，可以按照基础力学得到理想柱的“荷载P-横向挠度v图”（图4.20）。

图4.20　理想线弹性柱荷载-挠度图

计算细长柱弯曲失稳的欧拉公式：

式中：λ为构件长细比；Le为构件有效长度（也称计算长度，也常记为0l），对两端铰支柱，Le=L；不是两端铰支的构件，可以按基础力学重新推导其临界力公式，但麻烦，一般是通过“有效长度”这一概念，按两端铰支柱计算。所以，不是两端铰支柱，计算公式里柱的长度，不是实际长度而是“有效长度”，l0=μl。典型约束条件下构件有效长度折减系数μ见表4.2。

表4.2　典型约束条件下构件有效长度折减系数 μ

构件有效长度的概念也可以理解成，如果将某根构件挠曲线延伸至拐点处，则该构件的有效长度就是其挠曲线上拐点（即零力矩点——反弯点）之间的距离。

欧拉公式仅适合于所谓“理想柱”：

（1）构件没有初弯曲、初偏心、材料不均匀等几何缺陷，也没有残余应力等力学缺陷。

（2）细长柱（长细比很大，构件失效前材料始终保持弹性）。

欧拉公式不适用于短粗柱（达到Pcr之前，截面全部或部分材料进入塑性）。

由荷载-挠度图可知：

P＜Pcr→横向挠度v=0（稳定平衡）；

P =Pcr→v 有任意值（随遇平衡）。 横向挠度由铅直线和水平线组成，有两条平衡路线，称为平衡分支问题（也称分支点稳定，Ⅰ类稳定）。

非稳定平衡受到任意小的扰动，就会失去平衡，所以欧拉荷载为柱的最大承载力。

2）几何缺陷对稳定承载力的影响

图4.21表示有微小初偏心柱的“荷载P-横向挠度v图”。

e为荷载偏心距，图 4.21 表明：P ＜Pcr时，e=0→v=0；若e＞0或有初始挠度，加载开始柱即有横向挠度，且横向挠度随初始挠度和力的偏心距增大而增大，也随荷载增大而增大，即↑e →v ↑，↑P →v↑。对失效前材料始终保持弹性的细长柱，偏心受压柱荷载-挠度曲线以水平线Pcr为渐近线。

P ≈Pcr→v 很大，构件变形过大不适于继续承载，所以，实际的柱（有初偏心、初弯曲等几何缺陷——初始挠度与初始偏心性质相似，分析结论也相似），即使加载过程材料保持弹性（细长柱），其承载力低于欧拉公式给出的承载力，初始偏心距、初始挠度等几何缺陷越大，承载力越低。

图4.21　初偏心对屈曲承载力的影响

注意，随着P的增大，挠度也将增加，但这种关系是非线性的。因此，不能使用叠加原理来计算多个荷载所产生的挠度，即使该柱的材料是线弹性的。例如，轴向荷载 2P 引起的挠度并不等于轴向荷载 P 引起的挠度的两倍。

当P =Pcr→v 有任意值（随遇平衡），而P ＞Pcr→v =0，显然不符合实际情况，原因是使用了近似的曲率方程。图 4.22 表示采用精确的曲率方程得到的柱的“荷载P-横向挠度v图”。

图 4.22 表明，屈曲时挠度的大小没有不确定性。相反，对于一根理想线弹性柱，其荷载-横向挠度图一直沿着图的曲线 B 向上。因为P ＞Pcr，从平衡关系，柱还有承载力，但挠度随荷载增加，迅速增大，计算表明：

图4.22　柱的荷载-挠度图

直线A：小挠度理想弹性柱；
曲线B：大挠度理想弹性柱；
曲线C：有缺陷的弹性柱；
曲线D：有缺陷的非弹性柱。

式中，L 为柱的计算长度。

即荷载稍微超过临界荷载一点，挠度大得不能容忍。所以可认为Pcr为柱承载力上限。

C 为有初始偏心、初始弯曲等几何缺陷的细长柱（失稳前，材料为弹性，可用欧拉公式计算）。与图 4.22 表述一样，缺陷越大，曲线 C 就越向右移动，挠度越大，因为在大多数应用中，大挠度是不可接受的，所以，柱的实际最大承载力小于Pcr。

3）非弹性屈曲

图 4.22 中，D 为短柱或中长柱，失稳前，材料高应力区为非弹性，不能直接用欧拉公式计算（有残余应力的柱，即使长细比较大，失稳前高应力区平均应力也会超过材料比例极限——进入非弹性），加载过程中应力超过比例极限且材料不再遵循胡克定律时，荷载达到比例极限前，荷载-挠度图是不变的。之后，非弹性行为的曲线（曲线D）将离开弹性曲线，并继续上升，在达到最大值后再掉头向下。

非常细长的柱才在达到临界荷载之前一直保持弹性，多数柱属于短粗柱或中长柱，其行为是非弹性的（曲线D）。一根非弹性柱所能支撑的最大荷载可能远低于同一柱的欧拉荷载。即，柱如果发生非弹性屈曲，承载力不能用欧拉公式计算。

曲线D的下降部分代表突然和灾难性的坍塌，属于所谓“极值点失稳”（也称为Ⅱ类失稳，压溃）——实际的柱的失稳均属此类，相应于极值点的荷载，也称为最大荷载，记为Nu。在极值点以后，变形在荷载减小下不断增大，其平衡状态是不稳定的。以极值点的荷载Nu计算称为最大强度准则。

4）界限长细比和通用长细比

令σcr=π2E/λ2=fp，可解出：

式中，fp为钢材比例极限。显然，满足λ ＞λp，欧拉公式才成立。λp称为界限长细比，为弹性屈曲和非弹性屈曲分界点。将λ ＜λp=柱称为短柱或中长柱，其承载力明显小于欧拉公式，不能用欧拉公式计算短柱或中长柱承载力。

若fp=235 MPa ，E=206 ×103MPa，界限长细比λp=

同理可得：

对 Q345 钢，λp=

注意：没有残余应力等缺陷的柱，fp≈fy；有残余应力等缺陷时，fp＜fy。即，残余应力会降低比例极限，使材料提前进入塑性（图 4.23）。所以，有初始残余应力的构件，界限长细比pλ数值增大。

定义通用长细比（无量纲长细比）为：

λn=1为弹性屈曲和非弹性屈曲分界点，实际构件因为有残余应力等缺陷，弹性比例强度小于屈服强度，即fp＜fy，弹性屈曲和非弹性屈曲分界点λn＞1，具体数值与残余应力大小及其分布有关。有时也将λn标记为。

图4.23　残余应力降低fp

若取fp=0.5fy，弹性屈曲和非弹性屈曲分界点为：

即弹塑性分界点取为λ=1.5λp，即λn=1.5。

按通用长细比，欧拉公式重新写为σcr=fy/λn2，所以得到通用长细比另一个表达式：

式中，σcr=π2E /λ2。

5）柱子曲线——实际柱子的弯曲失稳承载力

构件的σcr-λ（或φ -λn，φ =σcr/fy）曲线称为柱子曲线。

图4.24中，细长柱的柱子曲线可用欧拉公式（图中实心曲线），但长细比不是很大时欧拉公式不适用，长细比很小时可认为构件承载力引起的截面平均应力接近yf。最简单的方法，用图中实心直线连接，图中实线组成“柱子曲线”（σcr-λ曲线）。但短柱、中长柱如何划分不确定。

图4.24　近似的柱子曲线

中长柱临界应力公式需要对欧拉公式进行修正，修正的一种方法是用切线模量代替弹性模量：切线模量虽然是变化的，但只要有准确的应力-应变曲线，不难用以上公式计算临界应力，切线模量偏于保守，随后发展出折线模量理论，计算较为复杂。目前普遍认可的为尚利理论（香莱理论），计算结果大于切线理论，小于折算模量理论（图4.25），由此得到图4.26所示的柱子曲线大致形状。

图4.25　三种计算结果的比较

图4.26　各种计算方法对应的柱子曲线

图 4.26 中虚线是按“边缘屈服准则”得出的，即，最不利截面边缘纤维最大应力达到材料屈服强度作为承载力极限状态。边缘屈服准则是用应力计算代替稳定计算，计算方法简单，按照试验确定合理的安全系数，也有相应的应用领域，但用来计算失稳理论依据不足。

实际结构中的轴心受压构件总带有初始缺陷，初始缺陷包括：

（1）几何缺陷，包括初始弯曲、初始偏心。

（2）力学缺陷，包括残余应力、材质不均匀等。

由于这些缺陷，构件的失稳属于极值点失稳，应按最大强度准则计算Nu，经典方法很难给出Nu的解析式，但借用计算机，可采用数值分析方法（如数值积分法、逆算单元长度法等）求解，由此得到的柱子曲线大致形状如图 4.27 所示。

图4.27　柱子曲线

得到合理的柱子曲线，就根据构件长细比得到相应的截面所能承受的最大承载力。

6）钢结构设计标准采用的整体稳定计算方法

设计标准将组成构件的板件（单元）依据板件宽厚比分为5类，依据板件宽厚比从小到大依次为S1、S2、S3、S4、S5五类（欧洲、美国规范分成四类），S1、S2类宽厚比较小，作为受弯构件或压弯构件，破坏前塑性变形能力较大，对应塑性设计，S4 类对应弹性设计，S5类板件受力时将发生板件局部变形（屈曲）。

非S5类板件组成的构件（即符合本章板件宽厚比限值要求的），整体稳定应满足：

S5类板件组成的构件，整体稳定性应满足：

即

式中：N为构件所受轴心压力设计值；A为不计局部削弱的毛截面面积（局部削弱对惯性矩影响可以忽略）；Ae为减小了的有效截面面积；φ =σcr/fy，称为轴心受压构件的稳定系数（取截面两主轴稳定系数中的较小者），根据构件的长细比（或换算长细比）、钢材屈服强度和《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）表 7.2.1-1、表 7.2.1-2 的截面分类，按《设计标准》附录 D 采用。

计算步骤为：计算出截面面积A和惯性矩 I，根据再由计算或者查表得到稳定系数φ，带入公式（4.8）即完成计算。kε为钢号修正系数（表 4.3），按下式计算：

稳定计算，截面特性均采用毛截面面积计算，因为类似螺栓孔等截面局部削弱，对惯性矩影响不大。

注意：σ=N /A 不是实际应力，可以称为截面平均应力；如果不是两端铰接柱，计算λ=l0/i时，取柱的有效长度l0；εk反映材料强度对稳定承载力的影响。

表4.3　钢号修正系数

我国原钢结构设计规范 GBJ 17—88、GB 50017—2003 和现行《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）给出了适用于不同柱截面的φ值表格和公式，根据构件长细比（或换算长细比）即可查出相应的φ值。显然，其他条件相同时，截面类型不同（缺陷不同），采用的柱子曲线（φ值）不同，承载力也不相同。截面分类见表4.4、4.5。

表4.4　轴心受压构件的截面分类（板厚t ＜ 40 mm）

续表

注：1. a* 类含义为Q235钢取b类，Q345、Q355、Q390、Q420和Q460钢取a类；b*类含义为Q235钢取c类，Q345、Q355、Q390、Q420和Q460钢取b类。
2.无对称轴且剪心和形心不重合的截面，其截面分类可按有对称轴的类似截面确定，如不等边角钢采用等边角钢的类别；当无类似截面时，可取c类。

表4.5　轴心受压构件的截面分类（板厚 t≥40 mm）

采用多条柱子曲线，基于这样的事实：

钢材和长细比相同的前提下，某些类型的截面，其性能要优于其他截面，这是由于截面上的材料分布、不同的几何缺陷水平和残余应力类型的不同所致。

编制求稳定系数φ的表格时，选用了轧制和焊接的工字形、T 形、圆管、方管等多种截面为计算对象。制定原规范时，选用了适用于不同柱截面的 13 种典型残余应力分布模式（图 4.28），假定构件有l/1 000的初弯曲，因为缺陷对屈曲最大不利影响不会同时发生，所以未单独考虑荷载的初偏心的影响。

图4.28　典型残余应力分布图

选定某一截面和相应的残余应力模式、弯曲方向，对每一个给定的长细比，用数值方法求出Nu或σcr，就得到了柱子曲线（φ -λ）上的一个点（φ =σcr/fy），给定不同的λ值，重复计算，就可以得到所选截面和弯曲方向的一条φ-λ曲线。制定 GBJ 17—88 规范时，共计算了适用于不同截面的200多条柱子曲线，选出了其中96条曲线作为计算依据，其分布如图 4.29 所示的一个较宽的区域内。若用一条曲线来代表，可能会造成较大误差，因而将曲线分布区域分成 3 个较窄的区域，每个较窄区域的平均值作为代表该区域的柱子曲线，就得到了计算所采用的 a、b 和 c 三条曲线。规范 GBJ 17—88 未对弯扭失稳做过多研究，笼统地将可能发生弯扭失稳的截面归入 c 类截面，规范 GB 50017—2003 对弯扭失稳做了专门考虑，调整了截面分类，对于板件厚度大于等于 40 mm 的压杆做了专门研究（厚板残余应力在板宽度、厚度方向均有变化），新增了一条 d 曲线专门适用于厚板结构。

图 4.29 为柱子曲线与试验值比较，由于试件厚度较小，试验值一般偏高，如果加大试件厚度，有厚度超过 40 mm 的试件，自然有接近曲线 d 的数据。

图4.29　柱子曲线与试验值（GBJ 17—88，GB 50017—2003）

《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）依然采用了前规范的 a、b、c、d 四条柱子曲线，考虑到热轧型钢残余应力峰值与钢材强度无关，残余应力的不利影响随钢材强度的提高而减弱，所以规定，强度达到或超过345 N/mm2、b /h＞0.8的 H 型钢和等边角钢的可在原规范基础上提高一类采用。柱子曲线如图 4.30 所示。

图4.30　柱子曲线（GB 50017—2017）

其他条件相同，缺陷（包括构件的初偏心、初弯曲等几何缺陷，残余应力等力学缺陷）不同，稳定系数和构件承载力不同。

稳定系数φ可以查设计标准相应表格确定，也可以按下式计算。当构件的k/λ ε超出表格范围时，φ值应按下列公式计算：

上式中相关系数，按表 4.6 确定。

表4.6　系数 α1、α2、α3表

7）残余应力的影响

（1）残余应力的产生和分布

残余应力是构件尚未承受荷载而存在于构件截面上的自相平衡的初应力。残余应力对轴心受压、受弯、压弯构件性能影响较大，会降低轴心受压构件稳定承载力，且降低幅度较大，但残余应力对承受静荷载的轴心受拉构件承载力没有影响。

残余应力分为纵向残余应力（图4.31）和横向残余应力，厚钢板还存在厚度方向的残余应力。图 4.32 是典型的截面纵向残余应力分布示意图，残余应力分布模式和大小来源于测试，用简单的曲线或折线连接截面上测得各点的应力大小，形成残余应力分布图。

考虑一根两端固定的钢压杆，使其长度不能变化，给钢压杆加热，由于加热产生的膨胀受到约束，构件中产生压应力，如果温度很高（例如加温到300～500 °C），不但压应力很高，而且会产生塑性压缩变形。构件冷却后，由于构件已发生塑性压缩变形，又受到约束而长度不变，其中必将产生拉应力。

图4.31　纵向残余应力

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图4.32　纵向残余应力分布

焊接组合构件，如图 4.32（c）、（d）、（e），施焊时焊缝及其附近区域的温度很高（称为“热区”或“后冷区”），距离焊缝较远区域温度较低（称为“冷区”或“先冷区”），热区的材料膨胀受到冷区的约束，势必在高温下产生塑性压缩变形，冷却后产生残余拉应力，相应的截面“冷区”必然产生与拉应力相平衡的残余压应力，组成自相平衡力系（此时尚未承受工作荷载）。焊接结构残余应力峰值更高，往往能达到钢材屈服强度。

图 4.32（c）、（d）所示工字形截面，加工方式不一样，前者翼缘为轧制或剪切边，后者翼缘板为火焰切割成的钢板，火焰切割加工后，翼缘板两端（热区）有残余拉应力，中间为残余压应力，叠加施焊后残余应力，形成的残余应力分布［图 4.32（d）］与翼缘为轧制或剪切边工字形截面残余应力分布不同。残余压应力分布越宽，越远离形心轴，对稳定承载力越不利（分析见下面小节），所以，翼缘为焰切边的工字形截面为b类，翼缘为轧制或剪切边的工字形截面对弱轴为c类。

热轧型钢加工过程中也产生高热，截面各部分冷却速度不一样，翼缘板与腹板连接周围区域后冷却部分的收缩受到先冷却部分的约束，而产生残余拉应力，先冷却部分产生与残余拉应力相平衡的残余压应力。图 4.32（a）的热轧型钢，因为腹板厚度远小于翼缘厚度，热轧厚腹板先冷却，翼缘宽度较小，冷却收缩受到腹板约束产生拉应力，腹板产生压应力。

（2）残余应力对材料比例极限和界限长细比的影响

残余应力会降低材料比例极限值fp，如图 4.33所示（比例极限降低到fp=0.6fy）。外荷载较小，截面应力σ＜fp时，截面为弹性变形；外荷载较大，压应力超过fp=fy-σrc（σrc为残余应力）时，截面残余压应力较大的区域进入弹塑性区，弹性模量逐渐降低，对稳定承载力贡献减小，应力达到屈服强度的区域，模量为0，对稳定承载力无贡献。另外，fp越低，界限长细比λp（或λnp）越大，而λ ≤λp的构件稳定承载力都会受到残余应力的较大影响（残余应力的影响范围扩大了）。

图4.33　残余应力对钢材比例极限 fp的影响

（3）残余应力对稳定承载力的不利影响

残余应力对稳定承载力的影响非常复杂，需要烦琐的计算和试验数据修正，下面以图4.34 所示双轴对称工字形截面为例，简要说明残余应力对稳定承载力的影响。一般腹板较薄，对弱轴的惯性矩较小，为了简化，忽略腹板惯性矩。

图 4.34（a）所示，残余压应分布在翼缘外侧，残余拉应力分布在翼缘内侧（靠近腹板），当σ＞fp=fy-σrc，翼缘外侧为塑性区，E=0，属于“无效区域”。

图4.34　残余应力计算

构件临界力和临界应力分别为：

式中：Ie为有效区域惯性矩；I 为全截面惯性矩。

对强轴（x 轴）失稳：

所以

对弱轴（y轴）失稳：

所以

因为k＜1，所以残余应力降低稳定承载力，又因为k＜1→k3＜k ，故残余应力对弱轴稳定承载力的不利影响更大。

图 4.34（b）所示，残余压应分布在翼缘中间靠近腹板区域， 残余拉应力分布在翼缘外侧，翼缘外侧为有效区域，翼缘内侧为无效区域，则： 所以

因为3k　-3k2+k3＞k3，所以残余压应力分布在翼缘外侧更加不利。

同样长细比λ的构件，φ值之所以不同，主要是几何缺陷和残余应力对不同截面影响程度不同，其中残余应力起主要作用。不同形状的截面会有不同的残余应力分布；同样形状的截面（如H型钢和工字钢）因成型方法不同（轧制或焊接）和尺寸比例不同，也使残余应力峰值与分布有所不同。

残余压应力峰值越高，分布范围越宽，压应力分布区域远离形心轴，对构件性能（整体稳定承载力）的不利影响越大。

【例4.8】 某工字形截面轴心受压柱，略去腹板对承载力贡献，截面残余应力如图 4.35，残余拉应力与残余压应力峰值相同。绘制此柱绕弱轴和强轴弯曲屈曲的φ-λn曲线。

图4.35　例4.8图

【解】 图（a）为残余应力图，图（b）为构件受工作荷载后的总应力图（包括残余应力）。因为残余压应力为σrc=0.3 fy，所以σ=N /A≤0.7fy时，全截面弹性工作，即：

σ=N /A＞0.7fy时，截面应力分布如图 4.35 平行竖线区域，翼缘外侧出现塑性区，中间为弹性区，按公式（4.12）得到即：

上式，0≤k≤1.0，k=0对应全截面进入塑形，k=1.0对应全截面弹性（弹性与非弹性分界点）。

截面应力（图中平行竖线区域）与外力组成平衡力系：

由相似三角形对应边成比例：

因σr=0.3 fy，合并上面2式得到：

即

由式（b）和（c）可绘出非弹性屈曲的φ-λn曲线，将其与式（a）的弹性屈曲φ-λn曲线画在一起，就得到了图4.36。

若没有残余应力影响，弹塑性区分界点为λn=1.0，本例，全截面为弹性时k=1.0→λn=1.195 ＞1.0为弹塑性屈曲分界点。弹性屈曲与非弹性屈曲分界点λn的数值与残余数值及其应力分布有关。

同理，式（b）改成φ=k/，可绘出对强轴的柱子曲线，和图4.36画在一起成为图4.37。

图4.36　例4.8柱子曲线图

图4.37　残余应力对强轴、弱轴的影响程度不同

将本题已知条件改成残余应力σr=0.4 fy，其柱子曲线和上图画在一起，成为图 4.38，可以看出：① 残余应力越大，屈曲临界力越低；② 残余应力越大，界限长细比越大（材料比例极限pf越低，材料提前进入塑性变形）。

令k=1.0可求出，σr=0.3 fy时，通用界限长细比λnp,0.3=1.195；σr=0.4 fy时，通用界限长细λnp,0.4=1.291。

本例也可以通过假设不同的k值，由公式（b）和公式（ c）得到一系列λn、φ值，从而得到φ-λn曲线。

图4.38　残余应力大小对柱子曲线的影响

8）美国钢结构设计规范计算弯曲屈曲方法

材料强度和长细比相同的柱子，因为初始缺陷不同，稳定承载力也不同。美国钢结构协会最早推荐采用三条柱子曲线，经广泛分析和并得到足够试验数据验证，用这三条曲线可以近似确定其承载力曲线的区间。最终，美国钢结构协会制定的规范（ANSI/AISC 360-16）决定对所有类型柱子，只用一根柱子曲线，这就导致数据分布范围更大，变异系数也更大，计算公式采用承载力折减系数φ保证可靠性，即，柱可以承受的最大轴压力为φPn，Pn为承载力理论值。

ANSI/AISC 360-16 规范，对非薄柔型板件（美国、欧洲规范的非Ⅳ类板件，中国规范的非S5类板件）组成的轴压构件弯曲屈曲承载力（改用我国规范采用的符号表示）计算如下。

欧拉公式：

式中　E=2 ×105MPa 。

式中，

由非薄柔型板件组成的轴心受压构件的弯曲屈曲承载力：

因为

所以

当λ≤时，为非弹性屈曲；

当λ＞2.25时，为弹性屈曲。

公式（4.14a）可写成：

上式表明，λ越大，弹性临界应力eσ越小，当eσ比屈服强度yf小一半以上时（σe＜fy/2.25 =0.44fy），为弹性屈曲。即λ越大，越无法充分利用材料强度。这也是需要限制长细比的原因之一（美国规范不要求限制压杆长细比，但长细比过大，造成材料利用率很低）。

由公式（4.14c）可绘出σcr-λ曲线［图4.39（a）］，若不考虑残余应力的影响，Q235钢的界限长细比λp≈93，图 4.39（a）中λp≈140，相当于考虑残余应力的影响（fp≈1.5fy）。显然，公式（4.14）考虑了弹性屈曲和非弹性屈曲柱子曲线之间的平滑过渡。

图4.39　柱子曲线及钢材强度对承载力的影响

由公式（4.14c）将Q235和Q355的柱子曲线画在一起得到图 4.39（b），图中，λp-Q235≈140、λp-Q355≈114，分别是 Q235 钢和 Q355 钢界限长细比。λ ＜λp-Q235时，Q355屈曲承载力高于 Q235，且长细比越小，材料强度对压杆屈曲承载力的影响越大；λ ≥λp-Q235时，Q355 和 Q235 屈曲承载力一致。所以，其他条件相同时，提高材料强度能有效提高短柱和中长柱的整体稳定承载力（长细比越小，提高得越多），但不能提高细长柱整体稳定承载力。

【例 4.9】 图 4.40 所示两端铰接焊接箱形截面轴心受压柱（图中尺寸单位：mm），截面无削弱，柱高 6 m，钢材用 Q235-B，承受轴心受压荷载设计值N=6 000 kN （包括自重）。要求：

（1）按整体稳定确定该柱承载力是否符合要求。

（2）改用Q355钢，按整体稳定确定该柱所能承受的最大承载力设计值Nu。

【解】 首先应该计算板件宽厚比符合局部稳定的要求，以下计算才成立。

截面无削弱，不需要计算强度。

（1）按中国标准解答

① 钢号修正系数

图4.40　例4.9图

截面几何特性：

属于b类截面，所以

最大承载力设计值：

② 若改用Q355

仅εk改变导致λ /εk=30.8/0.814 =37.8→φ=0.906

承载力提高了 38%，对短粗杆，提高材料强度是提高承载力的有效方法。

（2）按美国规范计算

或fy/σe=235/2 081 =0.11 ＜2.25→弹塑性屈曲

改用 Q355，σe=2 081 N/mm2（弹性屈曲临界应力不变）

承载力提高了 47.4%，对长细比较小的构件（短粗柱），提高材料强度能明显提高承载力。

【例 4.10】 按整体稳定求图 4.41 所示两端铰接轴心受压柱 AB 的最大承载力。柱高l=4 m ，柱中点有一个阻止绕弱轴弯曲的支撑，柱截面为焊接工字形，翼缘为轧制边，采用Q235B钢。

图4.41　例4.10图

【解】　l0x=l=400 cm ，l0y=0.5l =0.5 ×400 =200 (cm)

毛截面面积：A=2 ×22 ×1 +20 ×0.6 =56 (cm2)

惯性矩：

回转半径：

本例，在弱轴方向设置侧向支撑，使得两主轴稳定系数相近（等稳定）。

【例 4.11】 图 4.42 所示两端铰接轴心受压柱（图中尺寸为：mm），采用焊接工字钢，截面无削弱，翼缘为剪切边，承受轴心压力设计值N=1 950 kN ，材料为 Q345 钢，截面无削弱，柱高l=6 m 。要求：

（1）该柱整体稳定是否合格？

（2）如果翼缘改为焰切边，此柱整体稳定是否合格？

图4.42　例4.11图

【解】 首先应该验算板件宽厚比符合局部稳定的要求。

柱计算长度l0x=600 cm ，l0y=300 cm ，截面无削弱，不需要计算强度。

刚度合格。

翼缘为剪切边，所以对 x 轴为b类截面，对y轴为c类截面。

如果翼缘改为焰切边，其他条件不变，但稳定系数φ值增大，所以整体稳定合格。