互相干函数与复相干度原理

光场的相干性可以用相干度（Degree of Coherence）来度量。为此，首先定义互相干函数（Cross-coherence Function）。现回到图4.1.1，这时需要假设光源S具有一定大小，并发出多色光，同时假定由此多色扩展光源S发出的、在小孔P1和P2处的光场解析信号分别为u（P1，t）和u（P2，t），则两个小孔P1、P2实际是把从光源S来的光衍射到观察屏上，它们形成了两个新光场，按照前面的讨论，这两个光场在观察屏上P点处叠加在一起后的合成光场和光强可表示为

上式中P点光强定义为无限长时间的平均值。现定义光场中P1、P2两点之间的互相干函数（或互强度，Mutual Intensity）为

式中，τ=，c是真空中的光速。τ反映光场中P1、P2两点的光扰动有时间延迟。若令点P1和P2重合，即考察同一点P1在不同时刻的相干程度，则上式化为

Γ11（τ）称为自相干函数，它表征光场的时间相干性。当τ=0时，Γ11（0）=I（P1），即简化成了通常的光强。若P1、P2不重合，但t1=t2=t时，即考察光场中两点在同一时刻的相干程度，则式（4.2.13a）化为

上式表征光场的空间相干性。

为了讨论方便，将互相干函数写成归一化形式：

γ12（τ）称为光场u（P1，t+τ）和u（P2，t）的复相干度（Complex Degree of Coherence）或相关度（Correlativity）。利用施瓦茨不等式：

令f（ξ，η）=u（P1，t+τ），g（ξ，η）=u（P2，t），可以证明：

所以

|γ12(τ)|≤1

通常写成(www.xing528.com)

引入了互相干函数和复相干度后，光强度可表示为

式中，δ是由（r2-r1）引起的位相差。由于复相干度可以用模和幅角写成

故式（4.2.17）变为

当|γ12（τ）|=1时，P点的光强度与两个同频率的单色光波在该点叠加后所产生的干涉现象相同，干涉项的值在±2之间，这样的两点光扰动称为完全相干的。另一极端情形，当|γ12（τ）|=0时，得I（P）=I1（P）+I2（P），P点的光强就变为两束光在该点产生的光强的简单相加，即这时两光场是完全不相干的。但是应该指出，严格的相干场和严格的非相干场都是不可能的，那仅仅是理想化的情况。所以一般情况是0＜|γ12|＜1，这种情况我们称光场是部分相干的（Partial Coherence），|γ12|则表示它们的相干度。

当I1=I2=I01时，式（4.2.19）简化成

上式中的I01、|γ12|和β在这种特殊情况下都是常数。

按照条纹对比度的定义式，由式（4.2.19）有

并结合式（4.2.20）可得

因此，在两列相干光波强度相同的条件下，条纹对比度是这两列光波之间复相干度的量度。

归纳起来，互相干函数和复相干度是两个十分重要的物理量，它们表示光场中两个不同点的光扰动的关联程度。P1和P2点光扰动的振幅和位相都随时间发生涨落，若彼此的涨落完全独立无关，则其乘积的平均值〈u1（P，t+τ）u*2（P，t）〉为零，因而Γ12（τ）和γ12（τ）等于零，这两个不同点的光扰动是非相干的。如果它们各自随时间发生涨落时，相对位相保持某种联系，则其光场乘积的时间平均值就不会为零，P1和P2点的光振动就会是相干的或部分相干的。那么来自这两点的光波场叠加后，才会产生干涉效应。相关程度越高，干涉效应越明显。