（一）试题回顾
某18层的钢筋混凝土框架-剪力墙结构，总高为60.9m，第1层的重力荷载设计值为7300kN，第2～17层为6500kN，第18层为5000kN。试问，当结构主轴方向的弹性等效侧向刚度（kN·m2）的最低值满足下列何项数值时，在水平力作用下，可不考虑重力二阶效应的不利影响？
（A）1019025000 （B）1637718750 （C）1164603428 （D）2358315000
【试题1.4.2】 二阶效应对位移的影响（2004年）
某一建于7度地震区的10层钢筋混凝土框架结构，抗震设防类别为丙类，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为0.15g，场地类别为Ⅱ类。非承重填充墙采用砖墙，墙体较少，周期折减系数为0.7，底层层高6m，楼层屈服强度系数ξy为0.45，结构自振周期T=1.0s，阻尼比取0.05。假定由计算分析得知，该框架结构弹性等效侧向刚度
试问，在罕遇地震作用下，底层考虑重力二阶效应的层间弹塑性位移Δu′p，与未考虑重力二阶效应的层间弹塑性位移Δup之比，最接近下列何项数值？
（A）0.5 （B）0.833 （C）1.0 （D）1.2
【试题1.4.3】～【试题1.4.5】 （2006年）
某建于非地震区的22层钢筋混凝土框架-剪力墙结构，房屋高度H=75m，如图1.4.1所示。屋面层重力荷载设计值为0.8×104kN，其他楼层的每层重力荷载设计值均为1.2×104kN。倒三角形分布荷载最大标准值q=90kN/m；在该荷载作用下，结构顶点质心的弹性水平位移为u。
【试题1.4.3】 可不考虑二阶效应的水平位移（2006年）
在水平力作用下，计算该高层建筑结构内力、位移时，试问，其顶点质心的弹性水平位移u（mm）的最大值为下列何项数值时，才可以不考虑重力二阶效应的不利影响？
（A）55 （B）66 （C）70 （D）82
图 1.4.1
【试题1.4.4】 考虑二阶效应的水平剪力（2006年）
假定结构纵向主轴方向的弹性等效侧向刚度EJd=4.0×109kN·m2，底层某中柱按弹性方法计算但未考虑重力二阶效应的纵向水平剪力标准值为200kN。试问，按有关规范、规程要求，确定其是否需要考虑重力二阶效应不利影响后，该柱的纵向水平剪力标准值（kN）的取值应与下列何项数值最为接近？
（A）160 （B）180 （C）200 （D）220
【试题1.4.5】 增大系数法（2006年）
假定该结构横向主轴方向的弹性等效侧向刚度EJd=2.28×109kN·m2，且
；又已知，某楼层未考虑重力二阶效应求得的层间位移与层高之比
。若以增大系数法近似考虑重力二阶效应后，新求得的
比值，则不能满足规范、规程所规定的限值。如果仅考虑用增大EJd值的办法来解决，其他参数不变，试问，结构在该主轴方向的EJd最少需增大到下列何项倍数时，考虑重力二阶效应后该层的
比值，才能满足规范、规程的要求？
提示：①从结构位移增大系数考虑。
（A）1.05 （B）1.20 （C）1.52 （D）2.00
【试题1.4.6】 稳定系数（2010年）
云南省大理市某中学拟建一6层教学楼，采用钢筋混凝土框架结构，平面及竖向均规则。各层层高均为3.4m，首层室内外地面高差为0.45m，建筑场地类别为Ⅱ类。该结构在y向地震作用下，底层y方向的剪力系数（剪重比）为0.075，层间弹性位移角为1/663。试问，当判断是否考虑重力二阶效应影响时，底层y方向的稳定系数1y与下列何项数值最为接近？
提示：不考虑刚度折减。重力荷载计算值近似取重力荷载代表值；地震剪力计算值近似取对应于水平地震作用标准值的楼层剪力。
（A）0.012 （B）0.020 （C）0.053 （D）0.110
【试题1.4.7】 考虑二阶效应的水平位移（2010年）
某28层钢筋混凝土框架-剪力墙结构，房屋高度为H=93m，屋面重力荷载设计值为7000kN，其余楼层的每层重力荷载设计值均为10000kN。若某主轴方向结构受到沿高度方向呈倒三角形分布的水平荷载作用，水平荷载的最大值位于结构顶点处，其标准值qk=100kN/m。该主轴方向的弹性等效侧向刚度EJd=5.485×109kN·m2。试问，在该荷载作用下，考虑重力二阶效应时结构顶点质心的水平位移（mm）与下列何项数值最为接近？
（A）125 （B）133 （C）140 （D）150
（二）两类“二阶效应”
结构或构件在初始内力作用下产生变形，这种变形导致结构或构件内力的增大，由于结构或构件自身变形而在结构或构件内产生的附加内力即是“二阶效应”。
“二阶效应”有两类：挠曲二阶效应（P-δ效应）和重力二阶效应（P-Δ效应）。
1.挠曲二阶效应（P-δ效应）偏心受压构件在轴向压力N作用下会产生横向挠度δ（图1.4.2），因此横向总侧移e=ei+δ，此外ei为初始偏心距。构件承担的实际弯矩M=M1+M2=Nei+Nδ=N（ei+δ）。在式M=N（ei+δ）中M1=N·ei为初始（阶）弯矩、M2=N·δ为二阶弯矩，实际弯矩M值明显大于初始弯矩M1=N·ei，这种由加载后构件的挠曲变形而引起的内力增大的情况，称为“二阶效应”。这类由于构件自身挠曲引起对结构内力的影响叫挠曲二阶效应，即P-δ效应，二阶内力与构件挠曲形态有关，一般中段大，端部为零。
在钢筋混凝土柱承载力验算时，挠曲影响的偏心距增大系数η即是考虑这种二阶效应的影响。
图 1.4.2
M=M1+M2=Nei+Nδ=N（ei+δ）=N·ηei
此处，
称偏心距增大系数，上式也能表达成下列形式M=ηnsM1，此处，ηns称弯矩增大系数。《混凝土结构设计规范》6.2.4条讲述了弯矩增大系数这问题。
2.重力二阶效应（P-Δ效应）
结构在水平风荷载或水平地震作用下产生侧移变位Δ后（图1.4.3），重力荷载P由于该侧移而引起的附加效应，即重力P-Δ效应。当柔性结构，如钢和钢筋混凝土框架结构，受到水平荷载时，上部重力荷载P会由于其水平位移Δ产生额外附加的（二阶）倾覆弯矩。
M=M1+M2=FEh+PΔ
式中M1=FEh，为初始（阶）弯矩，M2=PΔ为二阶弯矩，M2的加入，又使Δ增大，同时又对附加弯矩进一步增大。如此反复，对柔弱的结构，可能产生积累性的变形增大而导致结构失稳倒塌。
图 1.4.3
（三）稳定系数
《建筑抗震设计规范》和条文说明对计入重力二阶效应影响的条件有规定：
《建筑抗震设计规范》第3.6.3条规定：
3.6.3 当结构在地震作用下的重力附加弯矩大于初始弯矩的10%时，应计入重力二阶效应的影响。
注：重力附加弯矩指任一楼层以上全部重力荷载与该楼层地震平均层间位移的乘积；初始弯矩指该楼层地震剪力与楼层层高的乘积。重力附加弯矩即所谓的二阶弯矩；初始弯矩即一阶弯矩。重力二阶弯矩与地震一阶弯矩的比值称稳定系数。《建筑抗震设计规范》规定用稳定系数来考虑二阶效应的影响，具体方法在条文说明中有交代。
3.6.3 本条规定，框架结构和框架-抗震墙（支撑）结构在重力附加弯矩Ma与初始弯矩M0之比符合下式条件下，应考虑几何非线性，即重力二阶效应的影响。
式中 i——稳定系数；
∑Gi——i层以上全部重力荷载计算值；
Δui——第i层楼层质心处的弹性或弹塑性层间位移；
Vi——第i层地震剪力计算值；
hi——第i层层间高度。
上式规定是考虑重力二阶效应影响的下限，其上限则受弹性层间位移角限值控制。对混凝土结构，弹性位移角限值较小，上述稳定系数一般均在0.1以下，可不考虑弹性阶段重力二阶效应影响。
当在弹性分析时，作为简化方法，二阶效应的内力增大系数可取1/（1-）。
当在弹塑性分析时，宜采用考虑所有受轴向力的结构和构件的几何刚度的计算机程序进行重力二阶效应分析，亦可采用其他简化分析方法。
混凝土柱考虑多遇地震作用产生的重力二阶效应的内力时，不应与混凝土规范承载力计算时考虑的重力二阶效应重复。
砌体结构和混凝土墙结构，通常不需要考虑重力二阶效应。
【例1.4.1】 稳定系数
条件：6层框架结构，平面及竖向均规则，该结构在y向地震作用下，底层y方向的剪力系数（剪重比）为0.075，层间弹性位移角为1/663。
要求：当判断是否考虑重力二阶效应影响时，底层y方向的稳定系数。
提示：不考虑刚度折减。重力荷载计算值近似取重力荷载代表值；地震剪力计算值近似取对应于水平地震作用标准值的楼层剪力。
答案：根据《建筑抗震设计规范》第3.6.3条及其条文说明中公式：
今对于底层y向，对应于水平地震作用标准值的剪力标准值为V1y=0.075∑Gi，底层顶部位移Δu1=1h1，依据给出的提示近似计算，可得：
依据《建筑抗震设计规范》的第3.6.3条条文说明，满足下式条件时应计入二阶效应影响。
本题不需计入二阶效应影响。
（四）高层建筑结构的重力二阶效应
《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.4条的条文说明指出：
5.4.4 结构整体稳定性是高层建筑结构设计的基本要求。研究表明，高层建筑混凝土结构仅在竖向重力荷载作用下产生整体失稳的可能性很小。高层建筑结构的稳定设计主要是控制在风荷载或水平地震作用下，重力荷载产生的二阶效应不致过大，以免引起结构的失稳、倒塌。
任何情况下，应当保证高层建筑结构的稳定和有足够抵抗倾覆的能力。由于高层建筑的刚度一般较大，又有许多楼板作为横向隔板，在重力荷载作用下一般都不会出现整体丧失稳定的问题。但是在水平荷载作用下，出现侧移后，重力荷载会产生附加弯矩，附加弯矩又增大侧移，这是一种二阶效应，严重时还会使结构位移逐渐加大而倒塌。因此，在某些情况下，高层建筑结构计算要考虑二阶效应，也就是所谓的结构整体稳定验算。
1.楼层刚重比
对一般高层建筑结构而言，由于构件的长细比不大，其挠曲二阶效应（即P-δ效应）的影响相对很小，一般可以忽略不计。
由于结构侧移和重力荷载引起的P-Δ效应相对较为明显，可使结构的位移和内力增加，当位移较大时甚至导致结构失稳。因此，高层建筑混凝土结构的稳定性设计，主要是控制、验算结构在风或地震作用下，重力荷载产生的P-Δ效应对结构性能降低的影响以及由此可能引起的结构失稳。
高层建筑结构只要有水平侧移，就会引起重力荷载作用下的侧移二阶效应（P-Δ效应），其大小与结构侧移和重力荷载自身大小直接相关，而结构侧移又与结构侧向刚度和水平作用大小密切相关。所以需要控制结构有足够的侧向刚度，宏观上有两个容易判断的指标：
①结构侧移应满足《高层建筑混凝土结构技术规程》的位移限制条件。
②结构的楼层剪力与该层及其以上各层重力荷载代表值的比值（即楼层剪重比）应满足最小值规定。
《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.4条的条文说明指出：
结构的刚度和重力荷载之比（简称刚重比）是影响重力P-Δ效应的主要参数。(www.xing528.com)
综上所述，结构的侧向刚度和重力荷载是影响结构稳定和重力P-Δ效应的主要因素，侧向刚度与重力荷载的比值称之为结构的刚重比。刚重比的最低要求就是结构稳定要求，称为刚重比下限条件，当刚重比小于此下限条件时，则重力P-Δ效应将使内力和位移的增量急剧增长，可能导致结构整体失稳；当结构刚度增大，刚重比达到一定量值时，结构侧移变小，重力P-Δ效应影响不明显，计算上可以忽略不计，此时的刚重比称之为上限条件；在刚重比的下限条件和上限条件之间，重力P-Δ效应应予以考虑。
2.结构等效侧向刚度的近似计算
结构的弹性等效侧向刚度EJd，《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.1条的条文说明中有近似的计算公式。
结构的弹性等效侧向刚度EJd，可近似按倒三角形分布荷载作用下结构顶点位移相等的原则，将结构的侧向刚度折算为竖向悬臂受弯构件的等效侧向刚度。假定倒三角形分布荷载的最大值为q，在该荷载作用下结构顶点质心的弹性水平位移为u，房屋高度为H，则结构的弹性等效侧向刚度EJd可按下式计算：
3.结构整体稳定
如果结构满足《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.4条要求，不会产生结构整体失稳。
5.4.4 高层建筑结构的整体稳定性应符合下列规定：
1 剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构应符合下式要求：
2 框架结构应符合下式要求：
高层建筑混凝土结构的稳定设计主要是控制在风荷载或水平地震作用下，重力荷载产生的二阶效应（重力P-Δ效应）不致过大，以免引起结构的失稳倒塌。如果结构的刚重比满足《高层建筑混凝土结构技术规程》式（5.4.4-1）或式（5.4.4-2）的规定，则重力P-Δ效应可控制内力和位移的增量在20%之内，结构的稳定具有适宜的安全储备。若结构的刚重比进一步减小，则重力P-Δ效应将使内力和位移的增量急剧增长，直至引起结构的整体失稳。在水平力作用下，高层建筑混凝土结构的稳定应满足《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.4条的规定，不应再放松要求。如不满足上述规定，应调整并增大结构的侧向刚度。
当结构的设计水平力较小，如计算的楼层剪重比过小（如小于0.02），结构刚度虽能满足水平位移限值要求，但有可能不满足稳定要求。
4.可以不考虑P-Δ效应的刚重比要求
如果结构满足《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.1条要求，重力P-Δ效应导致的内力和位移增量在5%左右，重力二阶效应的影响相对较小，可忽略不计。
5.4.1 当高层建筑结构满足下列规定时，弹性计算分析时可不考虑重力二阶效应的不利影响。
1 剪力墙结构、框架-剪力墙结构、板柱剪力墙结构、筒体结构：
2 框架结构：
式中 EJd——结构一个主轴方向的弹性等效侧向刚度，可按倒三角形分布荷载作用下结构顶点位移相等的原则，将结构的侧向刚度折算为竖向悬臂受弯构件的等效侧向刚度；
H——房屋高度；
hi——第i楼层层高；
Di——第i楼层的弹性等效侧向刚度，可取该层剪力与层间位移的比值；
n——结构计算总层数；
Gi、Gj——第i、j楼层重力荷载设计值，取1.2倍的永久荷载标准值与1.4倍的楼面可变荷载标准值的组合值。
【例1.4.2】 不考虑重力二阶效应不利影响的弹性等效侧向刚度
条件：某20层的钢筋混凝土框架-剪力墙结构，总高为78m，第一层的重力荷载设计值为7300kN，第2至19层为6505kN。第20层为5100kN。
要求：当结构主轴方向在水平力作用下，可不考虑重力二阶效应不利影响的弹性等效侧向刚度（kN·m2）的最低值。
答案：根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.1条的规定，弹性等效侧向刚度满足《高层建筑混凝土结构技术规程》式（5.4.1-1）的要求，可不考虑重力二阶效应不利影响，即
实际上，一般钢筋混凝土结构均能满足《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.1条的要求，通常无需考虑重力二阶效应的影响。
【例1.4.3】 不考虑重力二阶效应的影响的弹性水平位移u（mm）（2011年二级）
条件：某15层框架-剪力墙结构，其平立面示意如图1.4.4所示，质量和刚度沿竖向分布均匀，对风荷载不敏感，房屋高度58m，该结构位于非地震区，仅考虑风荷载作用，且水平风荷载沿竖向呈倒三角形分布，其最大荷载标准值q=65kN/m，已知该结构各层重力荷载设计值总和为
。
图 1.4.4
要求：在上述水平风力作用下，该结构顶点质心的弹性水平位移u（mm）不超过何值时，方可不考虑重力二阶效应的影响？
答案：根据《高层建筑混凝土结构设计规程》第5.4.1条第1款，
时，可不考虑重力二阶效应的影响。
根据《高层建筑混凝土结构设计规程》第5.4.1条条文说明公式（5），结构的弹性等效侧向刚度
则
该结构顶点质心的弹性水平位移u（mm）不超过51.2mm时，可不考虑重力二阶效应的影响。
5.P-Δ效应的近似考虑
混凝土结构在水平力作用下，如果结构的刚重比满足《高层建筑混凝土结构技术规程》式（5.4.4-1）或式（5.4.4-2）的结构稳定要求（下限条件），但不满足《高层建筑混凝土结构技术规程》式（5.4.1-1）或式（5.4.1-2）的刚重比上限条件要求，则应考虑重力P-Δ效应对结构构件的不利影响，此即《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.2条的规定。
5.4.2 当高层建筑结构不满足本规程第5.4.1条的规定时，结构弹性计算时应考虑重力二阶效应对水平力作用下结构内力和位移的不利影响。
《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.2条的条文说明中又交代了此时还应控制Δu/h的要求。
5.4.2 混凝土结构在水平力作用下，如果侧向刚度不满足本规程第5.4.1条的规定，应考虑重力二阶效应对结构构件的不利影响。但重力二阶效应产生的内力、位移增量宜控制在一定范围，不宜过大。考虑二阶效应后计算的位移仍应满足本规程第3.7.3条的规定。
重力P-Δ效应的考虑方法很多，《高层建筑混凝土结构技术规程》采用的是一种近似方法。这种近似方法是对不考虑重力P-Δ效应的构件内力乘以增大系数，即将不考虑二阶效应的初始内力和位移乘以考虑二阶效应影响的增大系数后，作为考虑二阶效应的内力和位移，该方法对线弹性或弹塑性计算同样适用。
《高层建筑混凝土结构技术规程》的增大系数法是一种简单可行的考虑重力P-Δ效应的方法。《高层建筑混凝土结构技术规程》规定，在位移计算时不考虑结构刚度的折减，以便与《高层建筑混凝土结构技术规程》的弹性位移限制条件一致；在计算内力增大系数时，结构构件的弹性刚度考虑0.5倍的折减系数，结构内力增量控制在20%以内。按此假定，考虑重力P-Δ效应的结构位移可采用未考虑重力二阶效应的结果乘以位移增大系数，但位移限制条件不变；考虑重力P-Δ效应的结构构件（梁、柱、剪力墙）端部的弯矩和剪力值，可采用未考虑重力二阶效应的结果乘以内力增大系数。结构位移增大系数F1、F1i，以及结构构件弯矩和剪力增大系数F2、F2i，可分别按《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.3条的公式近似计算：
5.4.3 高层建筑结构的重力二阶效应可采用有限元方法进行计算；也可采用对未考虑重力二阶效应的计算结果乘以增大系数的方法近似考虑。近似考虑时，结构位移增大系数F1、F1i及结构构件弯矩和剪力增大系数F2、F2i可分别按下列规定计算，位移计算结果仍应满足本规程第3.7.3条的规定。
对框架结构，可按下列公式计算：
对剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构，可按下列公式计算：
6.结构等效侧向刚度的近似计算
结构的弹性等效侧向刚度EJd，《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.1条的条文说明中有近似的计算公式。
结构的弹性等效侧向刚度EJd，可近似按倒三角形分布荷载作用下结构顶点位移相等的原则，将结构的侧向刚度折算为竖向悬臂受弯构件的等效侧向刚度。假定倒三角形分布荷载的最大值为q，在该荷载作用下结构顶点质心的弹性水平位移为u，房屋高度为H，则结构的弹性等效侧向刚度EJd可按下式计算：
【例1.4.4】 重力二阶效应的不利影响
条件：某建于非地震区的20层框架-剪力墙结构，房屋高度H=70m，如图1.4.5所示。屋面层重力荷载设计值为0.8×104kN，其他楼层的每层重力荷载设计值均为1.2×104kN。倒三角形分布荷载最大标准值q=85kN/m，在该荷载作用下，结构顶点质心的弹性水平位移为u。
要求：
（1）在水平力作用下，计算该高层建筑结构内力、位移时，不考虑重力二阶效应的不利影响，在这条件下该结构顶点质心的弹性水平位移u最大值的控制范围是多少？
（2）假定该结构纵向主轴方向的弹性等效侧向刚度是EJd=3.5×109kN·m2，底层某中柱按弹性方法计算但未考虑重力二阶效应的纵向水平剪力标准值为160kN。求考虑重力二阶效应不利影响后，该柱的纵向水平剪力标准值？
（3）假定该结构横向主轴方向的弹性等效侧向刚度EJd=2.28×109kN·m2；又已知，某楼层未考虑重力二阶效应求得的层间位移与层高之比
，考虑重力二阶效应后则不能满足规定的限值。如果仅考虑用增大EJd值的办法来解决，其他参数不变，结构在该主轴方向的EJd大于多少时才能满足要求？
答案：
图 1.4.5
（1）根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.3条在水平力作用下，框架-剪力墙结构的弹性等效侧向刚度
满足时，可不考虑重力二阶效应的不利影响。
EJd=2.7H2∑Gi=2.7×702×（0.8+19×1.2）×104kN·m2=3.12×109kN·m2
三角形分布荷载作用下结构顶点位移u为
在水平力作用下，结构顶点质心的弹性水平位移最大值u≤60mm时，计算该高层建筑结构内力、位移可不考虑重力二阶效应的不利影响。
（2）根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.1条规定，高层建筑结构重力二阶效应，可采用对未考虑重力二阶效应的计算结果乘以增大系数的方法近似考虑。框架-剪力墙结构的结构构件剪力增大系数F2的近似计算公式为
考虑重力二阶效应不利影响后，该柱的纵向水平剪力标准值为1.15×160=176kN。
（3）《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.4.3条规定，高层建筑结构重力二阶效应，可采用对未考虑重力二阶效应的计算结果乘以增大系数的方法近似考虑。结构位移增大系数F1近似计算公式为
位移计算结果仍应满足《高层建筑混凝土结构技术规程》第3.7.3条的规定。
《高层建筑混凝土结构技术规程》第3.7.3条规定，框架-剪力墙结构按弹性方法计算的楼层层间最大位移与层高之比Δu/h的限值为1/800。
弹性等效侧向刚度EJd=2.28×109kN·m2，未考虑重力二阶效应求得的层间位移Δu/h=1/850，考虑重力二阶效应，结构位移增大系数：
Δu/h=1.0754/850=1/790<1/800，不满足。要增大EJd值。结构位移增大系数F1≤850/800=1.0625时能满足规定的位移限值。
解得EJd=2.75×109kN·m2，当EJd≥2.75×109kN·m时，考虑重力二阶效应后能满足[Δu]=h/800限值的要求。
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