工程制图与识图-投影方法

点、直线和平面是构成空间物体的基本几何要素，熟练掌握这类要素的投影特性和作图方法是对各种立体进行投影分析的基础。

2.2.1 点的投影

1. 点的三面投影及投影特性

如图2-14 (a) 所示，将空间点A置于三投影面体系中。

过点A作垂直于H面的投射线，得到A点的H面投影，用相应的小写字母a表示；过点A向V面作投射线，得到A点的V面投影，用a'表示； 过点A向W面作投射线，得到点A的W面投影，用a″表示。将投影体系展开后，得到如图2-14 (b) 所示的点A的三面投影图。

通过分析空间情况，对照投影图可以看出，点的投影有如下特性：

(1) 点的H面投影和V面投影的连线垂直于OX轴，即aa'⊥OX；

(2) 点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a'a″⊥OZ；

(3) 点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az。

上述投影特性即“长对正，高平齐，宽相等”的根据所在。

分析可知，点的投影与三视图之间的投影规律一致，只是点在W面上的投影 (侧面投影或左视图) 要用45°角斜线或者圆弧来体现宽相等，如图2-14 (b) 所示。

根据点的投影特性，已知点的任意两个投影，可以作其第三投影。

图2-14 点的三面投影

2. 点的坐标与空间位置关系

空间点的位置可以由其直角坐标 (X，Y，Z) 来确定，即点的坐标确定点在空间中的位置。点的三个坐标值都不为零时，点在空间； 点的一个坐标值为零时，点在投影面；点的两个坐标值为零时，点在投影轴上； 点的三个坐标值都为零时，点在坐标原点。

点的 (X，Y，Z) 坐标反映空间点到投影面的距离，如图2-15所示。

图2-15 点的投影与坐标关系

(1) 点A的X坐标，等于点A到W面的距离，即XA=Oax=aay=a'az=Aa″。

(2) 点A的Y坐标，等于点A到V面的距离，即YA=Oay=aax=a″az=Aa'。

(3) 点A的Z坐标，等于点A到H面的距离，即ZA=Oaz=a'az=a″ay=Aa。

则点A三个投影的坐标分别为a(XA，YA)，a' (XA，ZA)，a″(YA，ZA)。

3. 两点的相对位置

空间两点的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。即空间两个点具有左右、前后、上下的位置关系。确定两点的相对位置只需要比较两点对应坐标值的大小： X大在左、Y大在前，Z大在上。如图2-16所示，点B在点A的右、前、下方，点B在点A之右XA-XB、在点A之前YB-YA、在点A之下ZA-ZB。

图2-16 两点的相对位置

4. 重影点

当空间两点的某两个坐标值相同时，这两个点在投影线垂直的投影面上的投影重合为一点，这两点即称为该投影面的重影点。根据定义可知，重影点必有两个坐标值相同。

由于重影，有可见与不可见之分，不可见用 “()”将投影括起来。重影点由第三坐标来判别投影点的可见性，坐标值大的点为可见点，坐标值小的点为不可见点。

如图2-17所示，A、B两点为对V面的重影点，由于YA＞YB，所以点A在点B的前方，点A的V面投影可见，点B的V面投影不可见，用 (b) 表示。

2.2.2 直线的投影

直线的投影一般情况下仍为直线。两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。

1. 直线上点的从属性和定比性

如图2-18所示，点K在线段AB上，点K的水平投影k在线段AB的同面投影ab上，由初等几何定理可知，AK∶ KB=ak∶ kb。

图2-17 重影点的投影

同样，正面投影k在a'b'上，侧面投影k″在a″b″上，且AK∶ KB=ak∶ kb=a'k'∶ k'b'=a″k″∶ k″b″。

由此可以得出直线上的点的投影特性：

(1) 从属性。直线上任一点的投影必在该直线的同面投影上，这个特性称为点的从属性。

(2) 定比性。直线上的点分割直线之比，投影后保持不变，这个特性称为点的定比性。

图2-18 直线上点的投影特性

2. 各种位置直线的投影特征

在三面投影体系中，直线的位置有三类： 一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。后两类统称为特殊位置线。

(1) 一般位置直线。

与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-19所示，AB为一般位置直线。

图2-19 一般位置直线

由图2-19 (b) 可知一般位置直线的投影特性：

1) 三投影均为斜线 (倾斜于投影轴)，且小于实长。

2) 三投影与投影轴的夹角，均不反映空间直线与投影面的真实倾角。

(2) 投影面平行线。

平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。

投影面平行线分为三种： 正平线——平行于V面，倾斜于H、W面； 水平线——平行于H面，倾斜于V、W面； 侧平线——平行于W面，倾斜于V、H面。

投影面平行线的投影特性如表2-1所示。由表2-1可以概括出投影面平行线的投影特征：

1) 在与直线平行的投影面上的投影为一斜线，反映实长，并反映直线与其他两投影面的倾角。

2) 其余两投影的长度小于实长，并平行于相应的两投影轴。

表2-1 投影面平行线的投影特性

续表

(3) 投影面垂直线。

垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。

投影面垂直线也分为三种： 正垂线——垂直于V面，平行于H、W面； 铅垂线——垂直于H面，平行于V、W面； 侧垂线——垂直于W面，平行于V、H面。

投影面垂直线的投影特性如表2-2所示。由表2-2可以概括出投影面垂直线的投影特征：

1) 与直线垂直的投影面上的投影积聚为一点；

2) 其他两投影反映实长，并垂直于相应的两投影轴。

3. 两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉和垂直四种情况。

(1) 两直线平行。

若空间两直线平行，则这两条直线的同面投影必定相互平行。如图2-20所示，已知AB∥CD，则ab∥cd，a'b'∥c'd'。反之，各组同面投影都互相平行，两直线在空间必然互相平行。

当两直线是一般位置时，只要有两对同面投影互相平行就可以判定两直线平行，若两直线同时平行某投影面，一般还要看这两条直线在该投影面上的投影是否平行才能判定。

(2) 两直线相交。

相交两直线必有一交点，交点为两直线的共有点。

图2-20 两直线平行

表2-2 投影面垂直线的投影特性

若空间两直线相交，则这两条直线的同面投影必定相交，并且交点的投影符合点的投影规律。反之，两直线的各组同面投影都相交，而且交点符合空间的投影规律，这两直线在空间一定相交。

如图2-21所示，相交两直线AB和CD，这两条直线的交点为K。在投影图中，k为ab、cd的交点，k'为a'b'、c'd'的交点，k与k'的连线垂直于投影轴。

图2-21 两直线相交

(3) 两直线交叉。

两直线既不平行也不相交称为两直线交叉。

交叉两直线的投影特征为各面投影既不符合两直线平行的投影特征，也不符合两直线相交的投影特征。

交叉两直线的同面投影可能平行、也可能相交，如图2-22 (a)、(b) 所示，但同面投影的交点不符合点的投影规律，而是两直线上不同的两点在同一投影面上的重合投影。

图2-22 两直线交叉

如图2-22 (b) 所示，直线AB、CD为两交叉直线，ab和cd的交点实际上是AB上的Ⅰ点和CD上的Ⅱ点的重合投影，因为Ⅰ、Ⅱ两点位于同一条投射线上，故Ⅰ、Ⅱ两点是对H面的一对重影点。Ⅰ点在下，Ⅱ点在上，在H面投影中，1不可见，2可见。同理， a'b'和c'd'的交点是AB上的Ⅲ点与CD上的Ⅳ点的重合投影，Ⅲ、Ⅳ点是对V面的一对重影点，由H面投影可见，Ⅲ点在后，Ⅳ点在前，则3'不可见，4'可见。立体图如图2-22 (c) 所示。

(4) 两直线垂直。

两直线相交成直角时，称为垂直相交或正交。两直线垂直相交，只要其中一条直线为投影面平行线，则在所平行的投影面上两直线的同面投影垂直相交，即交角投影为直角。这一特性称为直角投影定理。

如图2-23 (a) 所示，空间两直线AB⊥BC，其中AB∥H面，则这两条直线在H面上的投影ab⊥bc，证明如下： 因为AB⊥BC，且AB∥H，则AB⊥Bb，所以AB⊥BCcb； 由于ab∥AB，因而ab⊥BCcb，所以ab⊥bc。其投影图如图2-23 (b) 所示。

图2-23 两直线垂直，其中一条直线平行于投影面

2.2.3 平面的投影

1. 平面的表示

用几何元素表示平面，有以下五种方法：

(1) 不在同一直线上的点，如图2-24 (a) 所示。(www.xing528.com)

(2) 一直线和直线外的一点，如图2-24 (b) 所示。

图2-24 平面的表示方法

(3) 两条平行直线，如图2-24 (c) 所示。

(4) 两条相交直线，如图2-24 (d) 所示。

(5) 任意平面图形，如图2-24 (e) 所示。

2. 平面的空间位置

在三面投影体系中，平面的空间位置有三类： 一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面。后两类统称为特殊位置。平面与投影面H、V、W的倾角，分别用α、β、γ表示。

(1) 一般位置平面。

相对三投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-25所示。

图2-25 一般位置平面

一般位置平面的投影特征是： 其三个投影均为类似形，而且不反映该平面与投影面的倾角。既没有积聚性，也不反映实形。

(2) 投影面平行面。

平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面分为三种： 正平面——平行于V面，倾斜于H、W面； 水平面——平行于H面，倾斜于V、W面； 侧平面——平行于W面，倾斜于V、H面。投影面平行面的空间位置、投影图和投影特性，如表2-3所示。

从表2-3中可以归纳出投影面平行面的投影特征：

1) 与平面所平行的投影面上的投影反映实形；

2) 其余两投影均积聚为一直线，而且平行于相应的两投影轴。

(3) 投影面垂直面。

仅垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直线。投影面垂直面也分为三种： 正垂面——垂直于V面，平行于H、W面； 铅垂面——垂直于H面，平行于V、W面； 侧垂面——垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直面的空间位置、投影图和投影特性，如表2-4所示。

表2-3 投影面平行面的投影特性

表2-4 投影面垂直面的投影特性

续表

从表2-4中可以归纳出投影面垂直面的投影特征：

1) 与平面所垂直的投影面上的投影积聚为一斜线； 该斜线与相应投影轴的夹角反映平面对其他两投影面的倾角；

2) 其他两投影均为实形的类似形。

3. 平面内的点和直线

(1) 平面内取点和直线。点在平面内的几何条件是： 如果点位于平面内的任一直线上，则此点在该平面内。这是平面内取点的作图依据。

直线在平面内的几何条件必须满足下列两个条件之一：

1) 通过平面内的两个已知点。如图2-26 (a) 所示，点M、N分别为△ABC平面两个边上的点，连接这两点，所得直线MN在△ABC平面内。

2) 通过平面内的一个已知点，且平行于该平面内一已知直线。如图2-26 (b) 所示，点K是△ABC平面内AB边上的点，通过点K且平行于△ABC平面内AC边的直线KM必在△ABC平面内。

(2) 平面内的投影面平行线。平面内的投影面平行线既应满足直线在平面内的几何条件，又应符合投影面平行线的投影特性。

(3) 平面内的最大斜度线。平面内垂直于该平面的某一投影面平行线的直线，是平面内对这个投影面的最大斜度线。垂直于平面内水平线的直线，称为对H面的最大斜度线； 垂直于平面内正平线的直线，称为对V面的最大斜度线； 垂直于平面内侧平线的直线，称为对W面的最大斜度线。

最大斜度线的几何意义是： 平面对某一投影面的倾角就是平面内对该投影面的最大斜度线的倾角。在土木建筑工程图中，应用最多的是对H面的最大斜度线 (坡度线)。

图2-26 平面内的直线

图2-27为作平面△ABC内对H面的最大斜度线的过程：

1) 先在平面内作任一条水平线，如AD (a'd'、ad)。

2) 在△ABC内适当位置作一条该水平线的垂线，根据直角投影定理，作be⊥ad，由be向上作出b'e'，be、b'e'即为对H面的最大斜度线BE的两面投影。

图2-27 作平面△ABC内对H面的最大斜度线

2.2.4 直线与平面、平面与平面的相对位置

直线与平面、平面与平面的相对位置有三种： 平行、相交、垂直。

1. 平行关系

(1) 直线与平面平行。若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。反之亦然。如图2-28 (a) 所示。

图2-28 平行关系

(2) 平面与平面平行。一平面上的两相交直线对应平行于另一个平面内的两相交直线，则这两个平面平行。如图2-28 (b) 所示。

2. 相交关系

(1) 直线与平面相交。直线与平面相交只有一个交点，这个交点也称为贯穿点，该交点是直线与平面的共有点。作图时，应先求出该交点的投影，然后判定直线与平面重影部分的可见性，该交点是可见与不可见的分界点，如图2-29 (a) 所示。

图2-29 相交、垂直关系

(2) 平面与平面相交。平面与平面相交，交线为一直线，该直线是两平面的共有线。作图时，应先求出两平面的两个共有点，连接共有点得交线，然后判定两平面重影部分的可见性，交线是可见与不可见部分的分界线。

3. 垂直关系

(1) 直线与平面垂直。如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线，如图2-29 (b) 所示。

平面上的水平线和正平线为两条相交直线，这样，我们可以利用直角投影原理作一直线垂直于一平面，或判定一直线是否垂直一平面。

(2) 平面与平面垂直。如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。

2.2.5 换面法

直线或平面与投影面平行时，投影才反映直线的实长或平面的实形。因此，当空间几何元素处于一般位置时，将一般位置直线或平面变换为特殊位置，就可以达到求直线实长或平面变形的目的。

应用换面法可以解决实长、实形和倾角问题。

换面法就是保持空间几何元素的位置不动，用一个新的投影面代替原来的某个投影面，使空间元素在新的投影面体系中处于平行或垂直的位置，并求出几何元素在新投影面上的投影。如图2-30所示。

图2-30 换面法的概念

如图2-30 (a) 所示，△ABC在V/H投影面体系中，其铅垂面不反映实形。若设一个与H面垂直且平行于△ABC平面的新投影面V1来代替V面，组成新的投影面体系V1/H，则△ABC平面在V1面上的投影△a'1b'1c'1反映实形。在V1/H中，V1与H面的交线为新投影轴X1，将V1绕X1轴展开和原投影面H同处一面时，得出V1/H投影体系的投影图，如图2-30 (b) 所示。

新投影面的建立应符合以下两个条件：

(1) 投影面必须处于有利于解题位置。

(2) 新投影面必须与原来投影面之一垂直。这样才能组成一个新的互相垂直的投影面体系，方可根据正投影规律作图。

1. 点的变换规律

如图2-31 (a) 所示，在V、H两投影面体系中有一空间点A，及两面投影a、a'，在适当位置设立一个新的投影面V1代替V面，形成新的两投影面体系V1/H。V1面与H面交于O1X1，称为新投影轴。过点A向V1面作正投影，得到A点在V1面上的新投影a'1。这时，H面称为不变投影面，其投影a称为不变投影； V面称为旧投影面，其投影a'，称为旧投影； V1面称为新投影面，其投影a'1称为新投影； OX轴称为旧轴，O1X1称为新轴。

图2-31 点的变换规律

由图2-31 (a) 可知，将V1面绕新轴O1X1旋转与H面展开在同一平面，则a和a'1的连线一定垂直于新轴O1X1，并且a'ax，都反映点A到H面的距离Aa，即a'ax=a'1ax1。

由此，点的新投影作图方法如图2-31 (b) 所示。

(1) 在适当位置作新投影轴O1X1，由不变投影a向O1X1轴作垂线，使其与O1X1轴交于点ax1。

(2) 在该垂线上截取a'1ax1=a'ax，点a'1即为点A在V1面上的新投影。为了区别不同的投影体系，在投影轴的两侧注上相应的投影面符号。

由以上分析得出在换面法中点的投影变换规律为：

1) 新投影和不变投影之间的连线垂直于新轴。

2) 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。

点的投影变换规律是换面法中直线和平面的作图基础。

2. 求一般位置直线的实长和倾角

两点确定一条直线，直线进行投影变换时，只要作出直线上两端点的新投影，即可求得直线的新投影。

如图2-32 (a) 所示，在V、H两投影面体系中有一般位置直线AB，其V面、H面投影都不反映实长及倾角。保留H面不动，设立一个垂直于H面，且平行于直线AB的新投影面V1，代替V面，则V1面、H面就构成了一个新的两投影面体系。在新的两投影面体系中，直线AB在V1面上的新投影a'1b'1就反映实长和对H面的倾角α。

在图2-32 (a) 中，经过换面，在新的投影体系V1、H两面中，直线AB变换为V1面的平行线，不变投影ab∥O1X1轴，新投影a'1b'1反映实长，a'1b'1与O1X1轴的夹角反映直线AB对H面的倾角α。作图步骤如图2-32 (b) 所示。

图2-32 求一般位置直线AB的实长和倾角

(1) 在不变投影ab一侧的适当位置作O1X1∥ab。

(2) 根据点的投影变换规律分别作出A、B两点的新投影a'1、b'1，连接a'1b'1即得直线AB的新投影，a'1b'1与O1X1轴的夹角为α。

如果要求直线AB对V面的倾角β，请读者自行思考作图方法。

3. 求投影面垂直面的实形

如图2-33 (a) 所示，△ABC为一铅垂面，若设立一新投影面V1平行于△ABC，则V1面也一定垂直于H面，则△ABC在V1面上的新投影a'1b'1c'1反映实形。

作图方法如图2-33 (b) 所示：

(1) 作新轴平行于平面的有积聚性的不变投影，即作O1X1∥bac。

(2) 根据点的投影变换规律分别作出A、B、C各点的新投影a'1、b'1、c'1，连成△a'1b'1c'1，即为△ABC的实形。

图2-33 求铅垂面△ABC的实形