二阶微分方程-大学应用数学

1.可降阶的二阶微分方程

这里，我们讨论几种可降阶的二阶微分方程的类型及其求解.

（1）y″=f（x）型，该方程的右端是一个仅含自变量x的函数式，其解法是逐次积分，每积分一次，方程就降低一阶，最后得通解.

例3.36　求微分方程y″=x cos x的通解.

解　方程两边积分得，再一次积分得通解为

（2）y″=f（x，y′）型.该方程中不显含未知函数y，其解法是变量代换法，令y′=p，则y″=p′，代入原方程得p′=f（x，p），求出此一阶微分方程的通解p=φ（x，C1），即y′=φ（x，C1），进一步积分得原方程的通解

例3.37　求微分方程（1+x2）y″=2xy′满足初始条件的特解.

解　令y′=p，则y″=p′，代入方程并化简得

由一阶线性齐次微分方程的通解公式得

将y′=p，代入上述通解得y′=C1（1+x2），两边求积分得原方程的通解为

将代入y′=C1（1+x2），得C1=3.

将代人通解，得C2=1.

所以原方程满足初始条件的特解为y=3x+x3+1.

（3）y″=f（y，y′）型.该方程中不显含自变量x.为了求出它的通解，令y′=p，并利用复合函数的求导法则把y″化为对y的导数，即

于是，原二阶微分方程变为一阶微分方程，如果求出其通解为p=y′=φ（y，C1），对此一阶微分方程用分离变量法求得通解为

例3.38　求微分方程yy″-y′2=0的通解.

解　方程中不显含自变量x，设y′=p，则，代入方程得

当y≠0，p≠0时，约分并分离变量，得

两边积分得，即p=C1y，将y′=p代入，则y′=C1y由一阶线性齐次微分方程的通解公式，得通解为

2.二阶常系数齐次线性微分方程

把形如

的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程.如果二阶微分方程有两个解y1、y2，当时，y1和y2称为该微分方程的两个线性无关解，且y=C1y1+C2y2为该方程的通解.

根据求导数经验，我们知道指数式函数y=erx的一阶、二阶导数rerx，r2erx仍是同类型的指数式函数形式，于是，设y″+py′+qy=0的一个解为y=erx，将其代入式（3.3），得erx（r2+pr+q）=0，由于erx≠0，则必有(www.xing528.com)

由此可见，满足方程r2+pr+q=0的根r，对应的y=erx就是式（3.3）的解.我们也把式（3.4）称为微分方程式（3.3）对应的特征方程，其中，满足特征方程的根称为特征根.特征根有三种情况，因此，二阶常系数齐次微分方程式（3.3）的解就有三种形式：

（1）当p2-4q＞0，特征方程式（3.4）有不相等的两个实数根r1、r2，则y1=er1x 和y2=er2x 是式（3.3）的两个线性无关解，所以微分方程式（3.3）的通解为

（2）当p2-4q=0时，特征方程式（3.4）有相等的实数根，可以证明y1=er1x 和y2=xer1x是微分方程式（3.3）的两个线性无关解，所以微分方程式（3.3）的通解为y=（C1+C2x）er1x.

（3）当p2-4q＜0时，特征方程式（3.4）有一对互为共轭的虚数根r1=α+βi，r2=α-βi（β≠0），可以证明y1=eαxcos βx和y2=eαxsin βx是微分方程式（3.3）的两个线性无关解，所以微分方程式（3.3）的通解为y=eαx（C1cos βx+C2sin βx）.

通过以上分析可知，求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解的步骤如下：

（1）写出对应的特征方程r2+pr+q=0.

（2）求出特征根r1，r2.

（3）根据特征根的特点写出微分方程的通解.

例3.39　求微分方程y″-4y′+3y=0的通解.

解　特征方程为r2-4r+3=0.

特征根为r1=1，r2=3.

微分方程y″-4y′+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x.

例3.40　求微分方程满足初始条件的特解.

解　特征方程为r2+2r+1=0，特征根为r1=r2=-1.

微分方程的通解为s=（C1+C2t）e-t.

将初始条件代入上述通解，得C1=4.

将上述通解对t求导数得s′=（C2-4-C2t）e-t.

将初始条件代入上式，得C2=2.

所以，所求微分方程满足初始条件的特解为s=（4+2t）e-t.

例3.41　求微分方程y″-2y′+5y=0的通解.

解　特征方程为r2-2r+5=0，特征根为r1=1+2i，r2=1-2i.

所以，微分方程y″-2y′+5y=0的通解为y=ex（C1cos 2x+C2 sin 2x）.