五、二阶非齐次线性微分方程-考研数学基础篇

【主要内容】

1.二阶非齐次线性微分方程解的构造

形如

y″+P（x）y′+Q（x）y=f（x）（1）（其中P（x），Q（x），f（x）都是已知函数，f（x）不恒为零）的微分方程，称为二阶非齐次线性微分方程，称

y″+P（x）y′+Q（x）y=0（2）

是式（1）对应的齐次线性微分方程.

如果Y（x）是式（2）的通解，y∗（x）是式（1）的一个特解，则

y（x）=Y（x）+y∗（x）是式（1）的通解.

2.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

形如y″+py′+qy=f（x）（3）（其中p，q是常数，f（x）是已知函数，f（x）不恒为零）的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

（1）当f（x）=P_m（x）e^λx（其中，λ是常数，P_m（x）是关于x的m次已知多项式）时，式

（3）有特解

y∗=x^kQ_m（x）e^λx，其中，k按λ是方程y″+py′+qy=0的特征方程的零重根（即不是特征方程的根）、一重根、二重根对应地取0，1，2，Q_m（x）是x的m次多项式，其系数可将y∗=x^kQ_m（x）e^λx代入式（3）确定.

（2）当f（x）=e^αx[P_l（x）cosβx+P_n（x）sinβx]（其中α，β都是常数，P_l（x），P_n（x）分别是关于x的l次和n次已知多项式）时，式（3）有特解

y∗=x^k[R_m（1）（x）cosβx+R_m（2）（x）sinβx]e^αx，其中，k按α+iβ是方程y″+py′+qy=0的特征方程的零重根、一重根对应地取0，1，R_m（1）（x），R_m（2）（x）都是关于x的m（m=max{l，n}）次多项式，它们的系数可将y∗=x^k[R_m（1）（x）cosβx+R_m（2）（x）sinβx]e^αx代入式（3）确定.

【典型例题】

例4.5.1 （单项选择题）函数y=C₁ e^x+C₂ e^-2x+xe^x满足的一个微分方程为（ ）.

A.y″-y′-2y=3xe^x B.y″-y′-2y=3e^x

C.y″+y′-2y=3xe^x D.y″+y′-2y=3e^x

精解 y应是常系数齐次线性微分方程

y″+p₁y′+p₂y=f（x）（1）的通解，其中C₁ e^x+C₂ e^-2x是y″+p₁y′+p₂y=0的通解，所以它的特征方程有根r=1，-2，于是p₁=-（1-2）=1，p₂=1×（-2）=-2.将它们代入式（1）得

y″+y′-2y=f（x）.（2）

由于xe^x是式（2）的特解，所以

f（x）=（xe^x）″+（xe^x）′-2（xe^x）=（x+2）e^x+（x+1）e^x-2xe^x=3e^x.

因此本题选D.

例4.5.2 设二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（C₁+C₂x）e^x，求二阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=x满足初始条件y（0）=2，y′（0）=0的特解.

精解 由于

y″+ay′+by=0（1）的通解为（C₁+C₂x）e^x，所以式（1）的特征方程r²+ar+b=0有根r=1（二重），从而a=-（1+1）=-2，b=1×1=1.因此y″+ay′+by=x为

y″-2y′+y=x.（2）

式（2）有特解A+Bx，将它代入式（2）得

-2B+A+Bx=x.于是有 即A=2，B=1，所以式（2）有特解2+x.从而式（2）的通解为

y=（C₁+C₂x）e^x+2+x，（3）并且y′=（C₁+C₂+C₂x）e^x+1.（4）

将y（0）=2，y′（0）=0代入式（3）、式（4）得 即 C₁=0，C₂=-1.将它们代入式（3）得所求微分方程的特解为(www.xing528.com)

y=-xe^x+2+x=x（1-e^x）+2.

例4.5.3 已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x，y₃=xe^x+e^2x-e^-x是某非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程.

精解 设所求的非齐次线性微分方程为

y″+p₁y′+p₂y=f（x） （其中p₁，p₂为常数），（1）则y₁-y₃=e^-x，（y₁-y₂）+（y₁-y₃）=e^2x都是式（1）对应的齐次线性微分方程

y″+p₁y′+p₂y=0（2）的解，从而式（2）的特征方程

r²+p₁r+p₂=0有根r=-1，2，所以p₁=-（-1+2）=-1，p₂=（-1）×2=-2.将它们代入式（1）得

y″-y′-2y=f（x）.（3）

由于y₁是式（3）的解，其中，e^2x是对应的齐次线性微分方程的特解，所以xe^x是式（3）的特解，从而

f（x）=（xe^x）″-（xe^x）′-2xe^x

=（x+2）e^x-（x+1）e^x-2xe^x=（1-2x）e^x.将它代入式（3）得所求的微分方程为

y″-y′-2y=（1-2x）e^x.

例4.5.4 求微分方程y″+2y′-3y=e^-3x的通解.

精解 所给的微分方程

y″+2y′-3y=e^-3x（1）是二阶常系数非齐次线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程

y″+2y′-3y=0（2）的特征方程r²+2r-3=0的根为r=-3，1，所以式（2）的通解为

Y=C₁ e^-3x+C_{2 e}^x.

此外，式（1）有特解

y∗=Axe^-3x.（3）将它代入式（1）得

（Axe^-3x）″+2（Axe^-3x）′-3（Axe^-3x）=e^-3x，即A（-6+9x）e^-3x+2A（1-3x）e^-3x-3Axe^-3x=e^-3x.化简后得-4A=1， 即 将它代入式（3）得因此，式（1）的通解为

例4.5.5 求微分方程y″+y=x+cos x的通解.

精解 所给的微分方程

y″+y=x+cos x（1）是二阶常系数非齐次线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程为

y″+y=0，（2）其特征方程r²+1=0的特征根为i，-i，所以式（2）的通解为

Y=C₁ cos x+C₂ sin x.

此外，式（1）有特解

y∗=a₀+a₁x+x（bcos x+csin x）.（3）（注意：由于y″+y=x应有特解a₀+a₁x，y″+y=cos x应有特解x（bcos x+csin x），所以y″+y=x+cos x有特解a₀+a₁x+x（bcos x+csin x））.

将式（3）代入式（1）得

[a₀+a₁x+x（bcos x+csin x）]″+[a₀+a₁x+x（bcos x+csin x）]=x+cos x，即 [2ccos x-2bsin x+x（-bcos x-csin x）]+[a₀+a₁x+x（bcos x+csin x）]=x+cos x，化简后成为

a₀+a₁x+2ccos x-2bsin x=x+cos x，由此得到

将它们代入式（3）得

因此，式（1）的通解为