高数下册二阶非齐齐次常系数线性微分方程

在8.4节中,我们讨论了二阶非齐次线性微分方程解的结构,由定理8.3可知,求二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)的通解,就只要求出它的一个特解y*及其对应的齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解即可.

在8.5节,我们已经解决了方程y″+py′+qy=0通解的求解问题,因此要求解方程y″+py′+qy=f(x),只要再求出该方程的一个特解y*即可.

事实上,方程y″+py′+qy=f(x)的解,与方程右端的f(x)关系非常密切,f(x)的类型不同就有不同形式的特解.下面仅讨论f(x)为一些特殊类型函数时的方程的求解方法.

视频104

8.6.1　f(x)=eλxPn(x)型

设方程式(8-24)的右边f(x)=eλxPn(x),其中,λ是常数,Pn(x)是个已知的x的n次多项式

Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

这时,方程式(8-24)变为

由于方程式(8-28)右端是一个n次多项式与指数函数的乘积,而多项式与指数函数相乘求导数仍是多项式与指数函数的乘积(求导数之后函数的类型不会改变),由此可见,方程式(8-28)具有多项式与指数函数相乘这样类型的特解.

可设方程式(8-28)的一个特解为

y* =Qm(x)eλx ,

其中,Qm(x)是个系数待定的m次多项式.则

将y*、(y*)′、(y*)″代入方程式(8-28)中,并整理得

比较λ的值与方程式(8-28)的特征根r的关系,它们有以下三种情况.

(1)λ不是特征根的值.即λ≠r,此时有λ2+pλ+q≠0,故方程式(8-29)左边的最高次幂项就是Qm(x)的最高次幂,为m次多项式,要使式(8-29)恒等,左边必须是个与右边Pn(x)有相同次幂的多项式,即为一个n次多项式,所以应m=n.因此可设方程式(8-28)的一个特解为

y*=Qn(x)eλx,

其中,Qn(x)=b0xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn (b0,b1,…,bn-1,bn是待定系数).

求出(y*)′,(y*)″,并将它们和y*一起代入方程式(8-28)中,根据多项式相等的条件,比较等式两边x的同次幂的系数,即可求出b0,b1,…,bn-1,bn,从而得出方程式(8-28)的一个特解y*.

(2)λ是方程式(8-28)单特征根的值.即特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根,且λ等于其中的一个值(即λ=r1或λ=r2(r1≠r2)),则有

λ2+pλ+q=0.

而2λ+p≠0,这时,式(8-29)变成为

左边的最高次幂项就是Q′m(x)的最高次幂,要使等式恒等,Q′m(x)必须与右边Pn(x)有相同次幂,所以Q′m(x)必须是一个n次多项式,因此可设方程式(8-28)的一个特解为

y*=xQn(x)eλx.

求出(y*)′,(y*)″,并将它们代入方程式(8-28)中,经过化简整理后,使用类似(1)中的方法求出Qn(x)中的待定系数,即可求得特解y*.

(3)λ是方程式(8-28)重特征根的值.即特征方程r2+pr+q=0的根是重根(r1=r2),且λ等于特征根的值(即λ=r1=r2),则有λ2+pλ+q=0且2λ+p=0,此时,方程式(8-28)成为

要使等式成立,(x)必须与Pn(x)有相同次幂,所以(x)必须是一个n次多项式,因此可设方程式(8-28)的一个特解为

y*=x2Qn(x)eλx.

求出(y*)′,(y*)″并将它们代入方程式(8-28)中,经过化简整理后,使用类似前面的方法求出Qn(x)中的待定系数,即可求得特解y*.

综上所述,在求解二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=eλxPn(x)的解时,可设一个特解为

y*=xkQn(x)eλx,

其中,Qn(x)与Pn(x)都是n次多项式,k按以下三种情况取值：

特别地,在方程y″+py′+qy=eλxPn(x)中：

当λ=0时,f(x)=eλxPn(x)成为f(x)=Pn(x),此时可设特解为

y*=xkQn(x),

其中,Qn(x)与Pn(x)同是n次多项式,k的取值仍按前面所述.

当Pn(x)为常数A时,f(x)=eλxPn(x)成为f(x)=Aeλx,此时可设特解为

y*=Bxkeλx,

其中,k的取值仍按前面所述.

例8.20 求方程9y″+6y′+y=7e2x的一个特解.

解 由特征方程

9r2+6r+1=0,

可得特征根为.

在方程的右边,有e2x,可见这里的λ=2≠r,即λ不是特征根,所以可设方程的特解为

y*=Be2x,

则

(y*)′=2Be2x,(y*)″=4Be2x.

将

(y*′)=2Be2x,(y*″)=4Be2x及y*=Be2x代入原方程,得

49B=7,

可解得,即可得原方程的一个特解为

例8.21 求方程y″-3y′+2y=xe2x的通解.

解 由特征方程

r2-3r+2=0,

得特征根为r1=1,r2=2.

故原方程对应的齐次方程的通解为

因为在原微分方程中的f(x)=xe2x,λ=2=r2,是特征根之一；Pn(x)=x,故可设特解为

将(y*)′、(y*)″及y*代入原方程,化简整理后约去e2x,得

2b0x+(2b0+b1)=x.(www.xing528.com)

由多项式相等的条件,比较两边同次幂的系数,得

可解得,b1=-1,故原方程的一个特解为

所以,原方程的通解为

例8.22 求方程满足的解.

解 由特征方程

r2+4=0,

得特征根为r1,2=±2i.

故原方程对应的齐次方程的通解为

因为在原微分方程中的,可见λ=0不是特征根,故可设特解为

y*=ax+b,

可得(y*)′=a,(y*)″=0.

将(y*)′、(y*)″及y*代入原方程,得

由待定系数法得

解得,b=0.

所以.

故原方程的通解为

由,得 c1=0；又由,得.

故原方程满足的特解为

视频105

8.6.2　f(x)=Acosωx+Bsinωx型

设方程式(8-24)的右边f(x)=Acosωx+Bsinωx,其中,A,B,ω为实数.这时,方程式(8-24)成为

由于三角函数具有一阶导数、二阶导数仍还是三角函数的特点,因此,方程式(8-30)的特解中,具有三角函数形式的特解.

可以证明,方程式(8-30)具有如下形式的特解：

y*=xk(acosωx+bsinωx),

其中,a,b为待定常数,k是整数,具体取值按以下方法确定：

例8.23 求微分方程y″+3y′+2y=20cos2x的通解.

解 因特征方程

r2+3r+2=0,即(r1+2)(r2+1)=0

的根为r1=-1,r2=-2,所以,原方程对应的齐次线性微分方程的通解为

因为在原微分方程中的f(x)=20cos2x,故ωi=2i不是特征方程的根,因此可设特解为

y*=acos2x+bsin2x,

有(y*)′=-2asin2x+2bcos2x,(y*)″=-4acos2x-4bsin2x.

将(y*)′、(y*)″及y*代入原方程,并整理得

(-2a+6b)cos2x+(-2b-6a)sin2x=20cos2x.

比较两边同类项系数,得

可求得a=-1,b=3.

于是所求特解为y*=-cos2x+3sin2x.

故原方程的通解为y=+y*=c1e-x+c2e-2x-cos2x+3sin3x.

例8.24 求微分方程y″+y=4sinx的通解.

解 因特征方程

r2+1=0

的根为r1=-i,r2=i,所以原方程对应的齐次线性微分方程的通解为

因为在原微分方程的右边,f(x)=4sinx,是属于

f(x)=Acosωx+Bsinωx

类型,其中,ω=1,A=0,B=4,且ωi=i是特征方程的根,故可设特解为

y*=x(acosx+bsinx),

所以得(y*)′=(acosx+bsinx)+x(-asinx+bcosx),

(y*)″=(-asinx+bcosx)+(-asinx+bcosx)+x(-acosx-bsinx)

=-2asinx+2bcosx-x(acosx+bsinx).

将(y*)′、(y*)″及y*代入原方程,并整理得

-2asinx+2bcosx=4sinx.

比较两边同类项的系数,有

解得a=-2,b=0.

因此,所求特解为

y*=-2xcosx.

故原方程的通解为

习题8-6答案