齐次线性微分方程的基础知识与解析

【主要内容】

1.二阶齐次线性微分方程解的构造

形如y″+P（x）y′+Q（x）y=0（其中，P（x），Q（x）都是已知函数）（1）的微分方程，称为二阶齐次线性微分方程.如果y₁（x），y₂（x）是式（1）的两个线性无关的特解，则

y=C₁y₁（x）+C₂y₂（x）是式（1）的通解.

2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解

形如

y″+py′+qy=0 （其中，p，q都是常数）（2）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程.

称r²+pr+q=0为式（2）的特征方程.

关于（2）的通解有以下结论：

（1）如果特征方程有两个不等的实根r₁，r₂，则式（2）的通解为

（2）如果特征方程有两个相等的实根r₁，r₂（r₁=r₂），则式（2）的通解为

y（x）=（C₁+C₂x）e^r1x.

（3）如果特征方程有一对共轭复根r₁，2=α±iβ（β≠0），则式（2）的通解为

y（x）=e^αx（C₁ cosβx+C₂ sinβx）.

注 对于n阶常系数齐次线性微分方程

y（n）+p₁y（n-1）+p₂y（n-2）+…+p_n-1y′+p_ny=0的通解也有类似的结论.例如，当四阶常系数齐次线性微分方程

y（4）+p₁y‴+p₂y″+p₃y′+p₄y=0（3）的特征方程r⁴+p₁r³+p₂r²+p₃r+p₄=0如有4个互不相同的实根r₁，r₂，r₃，r₄时，式（3）的通解为

如有实根r₁（二重）和r₂（二重）时，式（3）的通解为

如有不同实根r₁，r₂及一对共轭复根α±iβ（β≠0）时，式（3）的通解为

如有二重共轭复根α±iβ（β≠0）时，式（3）的通解为y（x）=e^αx[（C₁+C₂x）cosβx+（C₃+C₄x）sinβx].【典型例题】例4.4.1 设y=（C₁+C₂x）e^-2x+e^x（C₃ cos x+C₄ sin x）为某个常系数齐次线性微分方

程的通解，试写出该微分方程.精解 所求的微分方程应是四阶的，它的特征根为-2（二重）以及一对共轭复根1±i，

所以特征方程为 （r+2）2（r-1-i）（r-1+i）=0，

即（r²+4r+4）[（r-1）2+1]=0.

化简整理后成为r⁴+2r³-2r²+8=0.所以所求的四阶常系数齐次线性微分方程为y（4）+2y‴_-2y″+8=0.

例4.4.2 （单项选择题）设二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0的每个解y（x）都满足，则a，b的取值范围为（ ）.

A.a>0，b<0 B.a<0，b<0

C.a>0，b>0 D.a<0，b>0(www.xing528.com)

精解 所给微分方程的特征方程为r²+ar+b=0.记它的两个特征根为r₁，r₂.由于每个解y（x）都满足，故r₁，r2的实部都为负数，从而

a=-（r₁+r₂）>0， b=r₁·r₂>0，

因此本题选C.

例4.4.3 求微分方程

cosx·y″-2sin x·y′+3cos x·y=0的通解.

精解 将所给微分方程改写成

（cosx·y″-2sin x·y′-cos x·y）+4cosx·y=0，即[cosx·y″+2（cos x）′y′+（cos x）″y]+4cosx·y=0.（1）

显然，式（1）左边方括号内为（cos x·y）″，所以式（1）为

（cos x·y）″+4cos x·y=0，故令u=cos x·y，则所给微分方程成为

u″+4u=0 （二阶常系数齐次线性微分方程）.它的特征方程r²+4=0的根为2i，-2i，所以通解为

u=C₁ cos 2x+C₂ sin 2x.

从而所给的微分方程通解为

cos x·y=C₁ cos 2x+C₂ sin 2x， 即

注 当所给的方程是齐次线性微分方程，但不是常系数时，可考虑作适当的变量代换，将所给的微分方程转换成常系数的.这是解稍复杂二阶线性微分方程常用的方法.

例4.4.4 设函数y=y（x）（x>0）满足微分方程

y″+y′-2y=0及条件y（0）=6，y（ln 2）=5.求函数φ（x）=y（ln x）的表达式.

精解 算出满足条件y（0）=6，y（ln 2）=5的特解y=y（x），即可得到φ（x）的表达式.所给的微分方程是 二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程r²+r-2=0的根为r=-2，1.所以该微分方程的通解为

y=C₁ e^-2x+C₂ e^x.（1）

利用y（0）=6，y（ln 2）=5得 即C₁=4，C₂=2.将它们代入式（1）得

y=4e^-2x+2e^x.于是

例4.4.5 求微分方程y″+2ky′+y=0（k是常数）的通解.

精解 所给微分方程是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程r²+2kr+1=0的根为

于是，当|k|>1时，r₁，r₂是两个不同的实数，此时所给微分方程的通解为

当|k|=1时，r₁=r₂=-k，此时所给微分方程的通解为

y=（C₁+C₂x）e^-kx；当|k|<1时，，是一对共轭复根，此时所给微分方程的通解为