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考研数学(一)常系数非齐次微分方程660题

时间:2023-11-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:【主要内容】1.二阶非齐次线性微分方程解的构造形如y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x) ()(其中P(x),Q(x),f(x)都是已知函数,f(x)不恒为零)的微分方程,称为二阶非齐次线性微分方程,称y″+P(x)y′+Q(x)y=0 ()是式()对应的齐次线性微分方程.如果Y(x)是式()的通解,y(x)是式()的一个特解,则y(x)=Y(x)+y(x)是式()的通解.2.二阶常系数非齐次线

考研数学(一)常系数非齐次微分方程660题

【主要内容】

1.二阶非齐次线性微分方程解的构造

形如

y″+Pxy′+Qxy=fx) (∗)

(其中Px),Qx),fx)都是已知函数,fx)不恒为零)的微分方程,称为二阶非齐次线性微分方程,称

y″+Pxy′+Qxy=0 (∗∗)

是式(∗)对应的齐次线性微分方程.

如果Yx)是式(∗∗)的通解,y∗(x)是式(∗)的一个特解,则

yx=Yx+y∗(x

是式(∗)的通解.

2.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

形如 y″+py′+qy=fx) (∗∗∗)

(其中pq是常数,fx)是已知函数,fx)不恒为零)的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

(1)当fx=Pmx)eλx(其中λ是常数,Pmx)是关于xm次已知多项式)时,式(∗∗∗)有特解.

y=xkQmx)eλx.其中,kλ是方程y″+py′+qy=0的特征方程的零重根(即不是特征方程的根)、一重根、二重根对应地取0,1,2,Qmx)是xm次多项式,其系数可将y=xkQmx)eλx代入式(∗∗∗)确定.

(2)当fx=eαx[Plx)cosβx+Pnx)sinβx](其中αβ都是常数,Plx),Pnx)分别是关于xl次和n次已知多项式)时,式(∗∗∗)有特解

y=xk[R(1)mx)cosβx+R(2)mx)sinβx]eαx

其中kα+iβ是方程y″+py′+qy=0的特征方程的零重根、一重根对应地取0,1,R(1)mx),R(2)mx)都是关于xmm=max{ln})次多项式,它们的系数可将y=xk[R(1)mx)cosβx+R(2)mx)sinβx]eαx代入式(∗∗∗)确定.

【典型例题】

例4.6.1 (单项选择题)函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程为( ).

A.y″-y′-2y=3xex B.y″-y′-2y=3ex

C.y″+y′-2y=3xex D.y″+y′-2y=3ex

精解 y应是常系数齐次线性微分方程

y″+p1y′+p2y=fx) (1)

的通解,其中C1ex+C2e-2xy″+p1y′+p2y=0的通解,所以它的特征方程有根r=1,-2,于是p1=-(1-2)=1,p2=1×-2)=-2.将它们代入式(1)得

y″+y′-2y=fx). (2)

由于xex是式(2)的特解,所以

fx=xex″+xex′-2(xex=x+2)ex+x+1)ex-2xex=3ex.

因此本题选D.

例4.6.2 设二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=C1+C2x)ex,求二阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=x满足初始条件y(0)=2,y′(0)=0的特解.

精解 由于

y″+ay′+by=0 (1)

的通解为(C1+C2x)ex,所以式(1)的特征方程r2+ar+b=0有根r=1(二重),从而a=-(1+1)=-2,b=1×1=1.因此y″+ay′+by=x

y″-2y′+y=x. (2)

式(2)有特解A+Bx,将它代入式(2)得

-2B+A+Bx=x.

于是有978-7-111-49809-4-Part01-3061.jpgA=2,B=1,所以方程(2)有特解2+x.从而式(2)的通解为

y=C1+C2x)ex+2+x, (3)

并且 y′=C1+C2+C2x)ex+1. (4)

y(0)=2,y′(0)=0代入式(3)、式(4)得

978-7-111-49809-4-Part01-3062.jpgC1=0,C2=-1.将它们代入式(3)得所求微分方程的特解为

y=-xex+2+x=x(1-ex+2.

例4.6.3 已知y1=xex+e2xy2=xex+e-xy3=xex+e2x-e-x是某非齐次线性微分方程的三个解,求此微分方程.

精解 设所求的非齐次线性微分方程为(www.xing528.com)

y″+p1y′+p2y=fx)(其中p1p2为常数), (1)

y1-y3=e-x,(y1-y2+y1-y3=e2x都是式(1)对应的齐次线性微分方程

y″+p1y′+p2y=0 (2)

的解,从而式(2)的特征方程

r2+p1r+p2=0

有根r=-1,2,所以p1=--1+2)=-1,p2=-1)×2=-2.将它们代入式(1)得

y″-y′-2y=fx). (3)

由于y1是式(3)的解,其中e2x是对应的齐次线性微分方程的特解,所以xex是式(3)的特解,从而

fx=xex″-xex′-2xex

=x+2)ex-x+1)ex-2xex=(1-2x)ex.

将它代入式(3)得所求的微分方程为

y″-y′-2y=(1-2x)ex.

例4.6.4 求微分方程y″+2y′-3y=e-3x的通解.

精解 所给的微分方程

y″+2y′-3y=e-3x (1)

是二阶常系数非齐次线性微分方程,它对应的齐次线性微分方程

y″+2y′-3y=0 (2)

的特征方程r2+2r-3=0的根为r=-3,1,所以式(2)的通解为

Y=C1e-3x+C2ex.

此外,式(1)有特解

y=Axe-3x (3)

将它代入式(1)得

Axe-3x″+2(Axe-3x′-3(Axe-3x=e-3x

A-6+9x)e-3x+2A(1-3x)e-3x-3Axe-3x=e-3x.

化简后得-4A=1,即978-7-111-49809-4-Part01-3063.jpg.将它代入式(3)得978-7-111-49809-4-Part01-3064.jpg

因此,式(1)的通解为

例4.6.5 求微分方程y″+y=x+cosx的通解.

精解 所给的微分方程

y″+y=x+cosx (1)

是二阶常系数非齐次线性微分方程,它对应的齐次线性微分方程为

y″+y=0, (2)

其特征方程r2+1=0的特征根为i,-i,所以式(2)的通解为

Y=C1cosx+C2sinx.

此外,式(1)有特解

y=a0+a1x+xbcosx+csinx). (3)

(注意:由于y″+y=x应有特解a0+a1xy″+y=cosx应有特解xbcosx+csinx),所以y″+y=x+cosx有特解a0+a1x+xbcosx+csinx)).

将式(3)代入式(1)得

[a0+a1x+xbcosx+csinx)]″+[a0+a1x+xbcosx+csinx)]=x+cosx

即 [2ccosx-2bsinx+x-bcosx-csinx)]+[a0+a1x+xbcosx+csinx)]=x+cosx,化简后成为

a0+a1x+2ccosx-2bsinx=x+cosx

由此得到

将它们代入式(3)得

因此,式(1)的通解为

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