2016考研数学（一）典型题660：计算坐标曲面积分

【主要内容】

1.关于坐标曲面积分的概念

设三元函数R（x，y，z）有界，Σ：z=z（x，y）是光滑或分块光滑的有向曲面，把Σ划分成n个小块，设第i小块ΔS_i在xOy平面上的投影为（ΔS_i）xy，并在第i小块上任取一点（_i，η_i，ζ_i）（i=1，2，…，n），如果不管Σ如何划分，也不管各个小块上的点如何选取，极限

（其中λ是各个小块曲面中的直径最大者）总是存在且相等，则称此极限值为R（x，y，z）在有向曲面Σ上关于坐标x，y的曲面积分，记为

同样可以定义三元函数P（x，y，z）在有向曲面Σ：x=x（y，z）上关于坐标y，z的曲面积分

和三元函数Q（x，y，z）在有向曲面Σ：y=y（x，z）上关于坐标x，z的曲面积分

关于坐标曲面积分的一般形式为

它定义为

当P（x，y，z），Q（x，y，z）和R（x，y，z）都是连续函数时，以上的关于坐标曲面积分都存在.

2.关于坐标曲面积分的计算方法

关于坐标曲面积分可按以下步骤计算：

（1）按关于坐标曲面积分性质，化简所给的曲面积分，使它化为易于转化成二重积分的形式.

关于坐标曲面积分主要有下列性质（以在光滑或分块光滑的有向曲面Σ：z=z（x，y）上关于坐标x，y的曲面积分为例）：

设R（x，y，z），R₁（x，y，z）都是连续函数，则

（ⅳ）设Σ-是Σ的反向曲面，则

（2）将化简后的关于坐标曲面积分化为二重积分，然后计算这个二重积分即得曲面积分的值.化二重积分的方法具体如下：

设R（x，y，z）是连续函数，Σ：z=z（x，y）是有向曲面，它在xOy平面上的投影为D_xy，则

其中，当Σ为上侧（下侧）时，上式右边积分号前取“+”号（“-”号）.

设P（x，y，z）是连续函数，Σ：x=x（y，z）是有向曲面，它在yOz平面上的投影为D_yz，则

其中，当Σ为前侧（后侧）时，上式右边积分号前取“+”号（“-”号）.

设Q（x，y，z）是连续函数，Σ：y=y（x，z）是有向曲面，它在zOx平面上的投影为D_zx，则

其中，当Σ为右侧（左侧）时，上式右边积分号前取“+”号（“-”号）.

3.两类曲面积分之间的关系

设P（x，y，z），Q（x，y，z）和R（x，y，z）都是连续函数，Σ是有向曲面，其上任一点处的法向量的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则(https://www.xing528.com)

【典型例题】

例3.18.1 求关于坐标的曲面积分，其中Σ为抛物面y=x²+z²夹于平面y=1与y=2之间部分的外侧.

精解 首先注意Σ的外侧即为左侧，所以根据关于坐标的曲面积分化为二重积分公式有

是Σ在zOx平面上的投影）

例3.18.2 计算关于坐标的曲面积分，其中Σ是曲面z=x²+y²（x≥0，z≤1）的外侧.

精解 由于Σ的方程不是y=y（x，z）的形式，因此需将它划分成Σ₁与Σ₄两部分，其中Σ₁是Σ的位于第一卦限中的部分，而Σ₄是Σ的位于第四卦限中的部分，它们的方程是Σ₁：，且Σ₁是右侧，Σ₄是左侧，Σ₁与Σ₄在zOx平面上的投影同为D_zx={（x，z）|0≤x≤z，0≤z≤1}，如图3.18.2所示.

于是

例3.18.3 计算曲面积分

其中，Σ是球面x²+y²+z²=1的外侧.

图 3.18.2

精解 由于Σ的方程不能表示成x=x（x，z）的形式，所以需把Σ划分成Σ₁与Σ₂两部分，它们分别为Σ中x≥0的部分和x<0的部分，

并且Σ₁与Σ₂在yOz平面上的投影都为D_yz={（y，z）|y²+z²≤1}，所以有

例3.18.4 计算关于坐标的曲面积分，其中Σ是下半球面x²+y²+z²=a²（z≤0，常数a>0），γ是Σ上的任一点（x，y，z）处的法向量与z轴正向的夹角，且cosγ>0.

精解 由于cosγdS=dxdy，所以可把I转换成关于坐标的曲面积分来计算，其中，上侧（由于cosγ>0，即），它在xOy平面上的投影为

D_xy={（x，y）|x²+y²≤a²}，所以

例3.18.5 计算关于坐标的曲面积分

其中，Σ为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧，f（x，y，z）是三元连续函数.

精解 由于被积式中有抽象函数，本题不宜用关于坐标的曲面积分方法直接计算，故将I转换成关于面积的曲面积分后再行计算.

由于平面x-y+z=1的法向量为（1，-1，1），所以Σ的上侧单位法向量（cosα，cosβ，cosγ）中的cosγ>0，从而单位法向量为

因此

（由于Σ即为图3.18.5中的等边三角形ABC，边长为，所以Σ的面积为

图 3.18.5