高等数学·下册：降阶二阶微分方程

二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.高阶微分方程在工程技术上有着广泛的应用.如,力学中,在有阻力的情况下的自由振动和强迫振动时物体的运动规律；在电学中,串联电路等问题的分析中,都常用到二阶微分方程.因此,讨论高阶微分方程的解法很有必要,但高阶微分方程的求解,要比一阶微分方程复杂,能够求解出的类型也不多.本节主要讨论可降阶的二阶微分方程的解法.

8.3.1　y″=f(x)型的方程

形如

y″=f(x)

的方程是最简单的二阶微分方程,其解可通过两次积分求得.

例8.11 求方程y″=xsinx的通解.

解 对方程两边积分,有

上式再求积分,有

即方程y″=xsinx的通解为

y=-xsinx-2cosx+c1x+c2.

这种形式的方程可推广为n阶的形式的方程

y(n)=f(x).

这种形式的方程可以通过求n次积分的方法来求解.

8.3.2　y″=f(x，y′)型的方程

形如

的方程,具有在方程中不显含有因变量y的特点,可按如下步骤进行求解：

(1)设y′=p,则将代入方程式(8-18),方程可化为

这是一个关于自变量x和未知函数p(x)的一阶微分方程.

(2)试用上节所述的方法(一阶微分方程的解法)求解方程式(8-19),可求得p=p(x).

(3)由于p=p(x)就是y′=p(x),所以,通过积分就可以求出y的表达式,即求得方程式(8-18)的解.

例8.12 求微分方程的通解.

解 令y′=p,则y″=p′.

于是方程可化为

这方程是个一阶线性微分方程,由一阶线性微分方程通解公式,得

所以有

y′=p=x(ex+c1).

对上式再积分,就得方程的通解为

例8.13 求微分方程y″(x2+1)=2xy′的通解,并求满足初值条件的特解.

解 令y′=p,则y″=p′,代入原方程,得

p′(x2+1)=2xp,

变形可化为(www.xing528.com)

这是可分离变量的方程,由变量分离法得p关于x的通解为

y′=p=c1(1+x2).

将初值条件代入,可得c1=3.

再积分,得

再将初值条件及c1=3代入上式,可得 c2=1.

所以,满足初值条件的特解为

y=3x+x3+1.

8.3.3　y″=f(y，y′)型的方程

形如

的方程,具有在方程中不显含有自变量x的特点,可按如下步骤进行求解：

(1)设y′=p,由复合函数求导法则,知

于是,方程式(8-20)就变化为一个关于y及p=p(y)的一阶微分方程

(2)用8.2节学习的求一阶微分方程解的方法,求出p=p(y).设求出的表达式为p=p(y),即,这是个可分离变量的微分方程.

(3)由分离变量法求解方程得出y=y(x)的表达式,即求得方程式(8-20)的解.

例8.14 求方程yy″-(y′)2=0满足初值条件的特解.

解 可以看出,方程yy″-(y′)2=0是不显含有自变量x的方程,令y′=p,则有y″=.

于是,方程可化为

当y≠0,p≠0时,方程可变化为

积分可得

p=c1y,即y′=c1y,

再分离变量：

再积分后得

而当p=0,即y′=0就有y=c,它是函数y=c2ec1x取c1=0的情形；

而当y=0时,它是函数y=c2ec1x取c2=0的情形.

所以,上面的y=c2ec1x就是方程yy″-(y′)2=0的通解.

由初值条件得 c1=2,c2=1.

因此可得

y=e2x

就是所给方程满足初值条件的特解.

习题8-3答案