高数下册：二阶线性微分方程解的结构

线性微分方程在自然科学、工程计算中有广泛的应用.因此,讨论线性微分方程的解法有着重要的意义,而分析线性微分方程解的结构,对讨论线性微分方程的解起着关键作用.

8.4.1　二阶线性微分方程的概念

具有形如

的方程,称为二阶线性微分方程,其中,P(x),Q(x),f(x)各是x的表达式.

如果 f(x)≡0,方程式(8-22)变化为

称方程式(8-23)为二阶齐次线性微分方程.

而当f(x)≠0时,方程式(8-22)又称为二阶非齐次线性微分方程,并称方程式(8-23)为方程式(8-22)对应的齐次线性微分方程.

特别地,如果在方程式(8-22)中,系数P(x),Q(x)分别为常数p,q时,方程变化为

称方程式(8-24)为二阶常系数线性微分方程

类似地,如果f(x)≡0,称方程

为二阶常系数齐次线性微分方程.

如果f(x)≠0,方程式(8-24)又称为二阶常系数非齐次线性微分方程,并称方程式(8-25)为方程式(8-24)对应的常系数齐次线性微分方程.

8.4.2　二阶齐次线性微分方程解的性质与解的结构

定理8.1 设函数y1(x),y2(x)都是二阶齐次线性微分方程式(8-23)的解,则

y=c1y1(x)+c2y2(x)

也是方程式(8-23)的解(其中c1和c2是任意常数).

证明 设函数y1(x),y2(x)都是二阶齐次线性微分方程(8-23)的解,就有

将y=c1y1(x)+c2y2(x)代入方程式(8-23)的左端,得

左边=(c1y1+c2y2)″+P(x)(c1y1+c2y2)′+Q(x)(c1y1+c2y2)

=

=c1·0+c2·0=0=右边,

所以,y=c1y1(x)+c2y2(x)是方程式(8-23)的解.

例8.15 验证c1e-x+c2e2x及c1e-x+c2e1-x是方程y″-y′-2y=0的解,并说明哪个是方程的通解,哪个不是通解.

证明 设y1=e-x,y2=e2x,y3=e1-x.

把y1=e-x代入方程y″-y′-2y=0,有

左边=(e-x)″-(e-x)′-2e-x

=e-x+e-x-2e-x=0=右边,

所以,y1=e-x是方程y″-y′-2y=0的解.

同理,把y2=e2x代入方程y″-y′-2y=0,有

左边=(e2x)″-(e2x)′-2e2x

=4e2x-2e2x-2e-x=0=右边,

所以,y1=e2x是方程y″-y′-2y=0的解.

把y3=e1-x代入方程y″-y′-2y=0,有

左边=(e1-x)″-(e1-x)′-2e1-x

=e1-x+e1-x-2e1-x=0=右边,(www.xing528.com)

所以,y3=e1-x也是方程y″-y′-2y=0的解.

由定理8.1可得

c1e-x+c2e2x和c1e-x+c2e1-x均是方程y″-y′-2y=0的解.

又因为在c1e-x+c2e2x中,含有两个任意常数c1,c2与方程的阶数是相等的,且c1,c2不可能合并为一个任意常数,即c1,c2是相互独立的.

因此,c1e-x+c2e2x是方程y″-y′-2y=0的通解.

而c1e-x+c2e1-x=(c1+c2e)e-x=ce-x=cy1(其中,c=c1+c2e),说明该解中实质上只含有一个任意常数,所以,c1e-x+c2e1-x只是方程y″-y′-2y=0的解,而不是方程的通解.

上例说明：并不是具有了形如c1y1+c2y2的解,都是方程式(8-23)的通解.还可以看出：

当=e-3x≠常数(称具有≠常数的函数y1,y2是线性无关的)时,c1e-x+c2e2x则是方程y″-y′-2y=0的通解；

而当≡常数(称具有≡常数的函数y1,y2是线性相关的)时,c1e-x+c2e1-x则不是方程y″-y′-2y=0的通解.

由上述分析,可得如下定理：

定理8.2 (二阶齐次线性微分方程通解的结构定理)设函数y1(x),y2(x)是二阶齐次线性微分方程式(8-23),即y″+P(x)y′+Q(x)y=0的两个线性无关的特解,则方程式(8-23)的通解为

y=c1y1(x)+c2y2(x),

其中c1和c2是任意常数.

8.4.3　二阶非齐次线性微分方程解的结构

在前面的第二节里,一阶非齐次线性微分方程的解为该方程对应的齐次线性方程的通解与该方程的一个特解的和,即具有式(8-17)的结构.对于二阶非齐次线性微分方程式(8-22)的通解也具有类似的结构.

定理8.3 设y*是二阶非齐次线性微分方程

y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)

的一个特解,是其对应的齐次线性微分方程

y″+P(x)y′+Q(x)y=0

的通解,则

是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的通解.

证明 设y*是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的一个特解是其对应的齐次方程的通解,则有

将y*代入方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x),有

故y=+y*是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的解.

又因为是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的通解,故其中必含有两个相互独立的任意常数,因此,在y=+y*中也必含有两个相互独立的任意常数.所以,y=+y*就是二阶非齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的通解.

例8.16 验证是方程y″+4y=2cos2x+4sin2x的通解.

证明 设=c1cos2x+c2sin2x,则

所以有,即得是方程y′+4y=0的解.

又由于在中含有c1,c2这两个相互独立的任意常数,所以,=c1cos2x+c2sin2x是方程y″+4y=0的通解.

再设

将y*、(y*)″代入原方程,则有

y″+4y=2cos2x+4sin2x的通解.

定理8.3说明方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的通解是由它的一个特解y*及与它对应的齐次方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的通解的和构成,因此,求一个二阶非齐次线性微分方程的通解,只要求得它的一个特解和与它对应的齐次线性微分方程的通解即可.

习题8-4答案