拉马努金的生日广义幻方及其数学故事

2010、2011年印度发行纪念拉马努金的邮票

1887年12月22日印度诞生一个小孩，这孩子后来成为国际闻名的数学家，他的名字叫斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）。印度每年将他的生日定为全国数学日，纪念这位自学成材的数学家。

拉马努金在中学时对幻方感兴趣，他在他的著名记事簿第一章中就是写关于幻方的研究。

拉马努金的记事簿和第一章

拉马努金还对广义幻方作研究，他找到构建广义3阶幻方的方法：

瑞士数学家和物理学家欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，开创了图论。图论与方阵有密切的关系。

在260多年前欧拉研究在n×n的方阵里，安排n种不同的元素，使每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次。以下是两个这样的方阵：

韩国和德国发行纪念欧拉的邮票

由于他使用拉丁字母来作为方阵里的元素的符号，因而人们叫这方阵为拉丁方。

风靡全球的智力游戏——数独——是他发明的拉丁方。

欧拉的发明——数独

拉马努金利用两个拉丁方找到构建4×4和5×5广义幻方的方法：

拉马努金的5×5广义幻方

他用他的生日日期设计了下面的广义幻方，这广义幻方的第一行放了他的生日数字：22，12，18，87，他把他的生年1887一分为二——18，87。

现在观察这广义幻方有什么特别的性质？

（1）每列的数字和是139：

22＋88＋10＋19＝139

12＋17＋24＋86＝139

18＋9＋89＋23＝139

87＋25＋16＋11＝139。

（2）每行的数字和是139：

22＋12＋18＋87＝139(www.xing528.com)

88＋17＋9＋25＝139

10＋24＋89＋16＝139

19＋86＋23＋11＝139。

（3）两条对角线的数字和都是139：

22＋17＋89＋11＝139

19＋24＋9＋87＝139。

（4）4×4矩阵的四个角和是139：

22＋87＋19＋11＝139。

（5）第一行和第四行的中间两项和与第一列和第四列的中间两项和是139：

88＋10＋25＋16＝139

12＋18＋86＋23＝139。

（6）两个斜对角的和是相等的：

88＋12＋23＋16＝139

18＋25＋10＋86＝139。

（7）中间2×2矩阵的和17＋9＋24＋89＝139。

（8）图案划分四个2×2矩阵，每个的和都相等：

22＋12＋88＋17＝18＋87＋9＋25＝10＋24＋19＋86＝89＋16＋23＋11＝139。

（9）第二行和第三行的两个矩阵2×2方阵的数字和是一样的：

88＋17＋24＋10＝9＋25＋89＋16＝139。

（10）它有4个3×3方阵，四角和是139。

让我们尝试通过使用一些简单的算术和代数推理寻找构建生日广义幻方的方法。