不定积分是数学分析中最重要的内容之一,对常规的求解方法——第一换元法(凑微分法)、第二换元法、分部积分法和万能代换等要非常熟练地掌握;对带有技巧性的解法,只有多做多练方能领会和掌握,正所谓熟能生巧!在此,我们不打算对不定积分的各种解法逐一讲解,而只是想通过典型题目介绍一些技巧.也许,大家会感觉到在内容上缺乏系统性,这正是由这门课的性质所决定的!
例4.1 求下列不定积分
解 (1)由于(xlnx)′=1+lnx,所以
(2)由于,所以
(3)由于(sinx-cosx)′=sinx+cosx,所以
例4.2 求下列不定积分
解
例4.3 求下列不定积分
解
例4.4 求下列不定积分
解
例4.5 求下列不定积分
解 (1)令,则
,所以
(2)令,通过计算可得
注4.1 处理这类题目的一个基本原则是:选择最复杂的式子作为新的变量,这样就可把它去掉!
例4.6 求.
解 注意到(2sinx+cosx)′=2cosx-sinx,可令
3sinx+4cosx=a(2sinx+cosx)+b(2cosx-sinx)
解之得 a=2,b=1,从而有
注4.2 本例的解法为形如的不定积分提供了一般的解法.
例4.7 求.
解 由于,故可令
于是有
dx=2(b-a)sintcostdt,
从而
本例的解法十分依赖题目的结构,若用第二换元法求解,那将是非常复杂的.
例4.8 求下列不定积分
(3)已知f(x)在区间内满足
求f(x)(第一届全国大学数学竞赛(非数学类)决赛试题).
解 (1)当a-b=kπ时,;
当a-b≠kπ时,由sin(a-b)=sin[(x+a)-(x+b)]
=sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)可知,
(2)当a=1时,;
当a≠1时,
这里注意到了在内,
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例4.9 求下列不定积分
解
注4.3 这两个题目都是用分部积分法求解的.如果说第一个题目中u,v的选取能观察出来的话,那么第二个题目就很难了!对此我们可采用如下方法处理:取u=lnx,,而
这样就可取.
再如,要计算取u=arccosx,
,此时
故取
在这里还要提醒同学们注意的是:在被积函数中若出现了lnx,arcsinx,arctanx等函数时,一般要选取它们作为u.这是因为通过求导可将这些符号去掉!
例4.10 求
解
而
于是
类题 求下列不定积分
提示 (1)令t2=tanx,则原积分化为
由例4.10可得
(2)令t2=tanx,则
(3)
例4.11 设Pn(x)是x的n次多项式,计算
解 将Pn(x)在a点作泰勒展开
于是有
例4.12 设n次多项式,其系数满足关系式
,证明:不定积分
是初等函数.
证明 由此可见,只需计算
即可.而
,其中fi(x)是初等函数.
所以
显然,当时,
是初等函数.
例4.13 求
解 由于
所以
由原函数的连续性,若记C2=C,则故
注4.4 对分段函数f(x)求原函数(或不定积分)F(x),虽然是逐段求出的,但必须有F′(x)=f(x).为此F(x)首先应该连续,这样就可利用F(x)在分段点的连续性确定出各常数之间的关系.像本例,由F(x)在x=-1处的连续性可得F(-1-0)=F(-1+0)=F(-1),即,故
由F(x)在x=1处的连续性可得F(1-0)=F(1+0)=F(1),即,故
例4.14 设y=y(x)是由方程y2(x-y)=x2所确定的隐函数,试求.
解 欲将y从所给的方程中解出来是非常困难的,甚至是不可能的!因此,我们必须引入参数形式.令y=tx,代入所给的方程可得,则
,
,故
类题 设y=y(x)是由方程(x2+y2)2=2a2(x2-y2)所确定的隐函数,求.
提示 令y=tx,由方程可得,
注意到,有
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