【摘要】:,p>0,q>0称为Beta函数或第一类欧拉积分.它的等价形式有:由此可得B函数的性质:1)B(p,q)函数在其定义域p>0,q>0上连续且有任意阶连续偏导数;2)对称性:B(p,q)=B(q,p);3)递推关系式:如果m,n都是自然数,则,s>0称为Gamma函数或第二类欧拉积分.它的等价形式有:由此可得Γ函数的性质:1)Γ在其定义域s>0上连续,且有任意阶连续导数;2)递推关系式:Γ(s+1)=sΓ,s>0.如果n是自然数,则Γ(n+1)=n!
(1),p>0,q>0称为Beta函数或第一类欧拉积分.它的等价形式有:
由此可得
B函数的性质:
1)B(p,q)函数在其定义域p>0,q>0上连续且有任意阶连续偏导数;
2)对称性:B(p,q)=B(q,p);
3)递推关系式:
如果m,n都是自然数,则
(2),s>0称为Gamma函数或第二类欧拉积分.它的等价形式有:
由此可得
Γ函数的性质:
1)Γ(s)在其定义域s>0上连续,且有任意阶连续导数;
2)递推关系式:Γ(s+1)=sΓ(s),s>0.
如果n是自然数,则
Γ(n+1)=n!;
3)勒让德(Legendre)加倍公式:;
4)余元公式:;
5)与B函数之间的关系
(3)几个重要的积分
例7.20 计算下列积分.
解 (1)令,则,,代入原积分可得(www.xing528.com)
(3)令,则,,代入原积分,有
(4)令t=x4,则
例7.21 计算下列积分.
解 (1)令x=1-t,则dx=-dt,代入原积分,有
所以
故
对上式右端第一个积分作变换:x=1+t,则
于是有
例7.22 求极限.
解 这个题目可用含参变量积分的连续性定理解,这里我们用Γ函数来解.
令t=xn,则,,代入原积分有
这里应用了Γ(s)在其定义域上的连续性.
例7.23 已知0≤h≤1,正整数n≥3,证明:
(中科大).
证明 令t2=xh2,则,
例7.24 设a>0,b>0,c>0,试证:
其中V为四面体,x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z=1(郑州大学).
证明 写出累次积分:
令y=(1-x)t,则
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