概率论中的条件概率及概率乘法公式

条件概率的概念在概率论中的地位非常重要。我们借助1.1节例子来理解条件概率的概念。同时掷两枚均匀硬币的试验,在已经知道第一枚硬币是正面的条件下,分析第二枚硬币也是正面的概率。硬币出现正面记为H,硬币出现反面记为T,记事件A 为“第一枚硬币是正面”,即A={HH,HT};事件B 为“第二枚硬币出现正面”,即B={HH,TH};仍记必然事件Ω={HH,HT,TH,TT};则事件AB={HH}。

记在已经知道第一枚硬币是正面的条件下,第二枚硬币也是正面的概率为而,从而

对于古典概型的一般问题,若仍以)记事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,上面的关系式仍成立。事实上,设试验的基本事件总数为n,事件A 所包含的基本事件数为m,事件AB 所包含的基本事件数为k,即有

定义1.5.1 对任意事件A,B,P(A)＞0,则称

为在事件A 已发生的情况下,事件B 发生的条件概率。

例1.5.1 一批产品有100件,其中95件合格品、5件不合格品,先后从中随意(非还原地)抽出两件。设A={第一件抽到的是不合格品},B={第二件抽到的是不合格品},则

当然把A 看成缩小的样本空间来处理也容易理解,即Ω′=A,在缩小的样本空间Ω′内求解B的概率就是P(B|A)。

由式(1.5.1)立即得到

同理可得

式(1.5.2)很容易推广到多个事件交的情况,A,B,C 为任意3个事件,且P(AB)＞0,则有(www.xing528.com)

更一般地有

(假定P(A1A2…An-1)＞0)

式(1.5.2)～式(1.5.5)称为概率的乘法公式。

例1.5.2 设袋中装有r 只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。

解 以事件Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取到红球”,则事件 分别表示“第三、四次取到白球”。所求概率为

例1.5.3 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率是若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为试求透镜落下3次未打破的概率。

解 以事件Ai(i=1,2,3)表示“透镜第i次落下打破”,以事件B 表示“透镜落下3次未打破”。则

所以,