非线性偏微分方程研究：孤立子解的确定与条件

为了得到孤立子解，将方程成重写下列的形式：

下面将给出四种不同类型的解，在下一小节将一一列出。

3.3.3.1　孤立波解

为了得到孤立波解，首先假设

这里

其中A 是孤立子的振幅，p>0是待定参数。利用齐次平衡原理可以得到，B表示孤立子的逆宽，v是波速。将（3.198）代入（3.197）可以得到

根据齐次平衡原理，将最高阶导数项和最高阶非线性项平衡，（n+1） p+1和 p+5相等，可以得到

注意到，从2p+3 和p+5，或者 2p+1 和p+3，这两种情况都可以得到：

因此，从（3.201）和（3.202）可以得到

（3.200）化成

令线性独立项 sechjτ（j=3，5，7）的系数等于零，可以得到

因此要求

并且满足

于是，（3.197）的孤立波解由下式给出

这里波速 v 由（3.205）确定，振幅A 由（3.206）给出。（3.208）和（3.207）这些条件保证了解的存在。

3.3.3.2　激波

为了得到方程（3.197）的激波，首先假设

这里τ依然是（3.199），A和B是自由参数，同时p>0 是关键的待定参数。将（3.198）代入（3.197），可以得到

利用齐次平衡原理，令指数（n+1） p−1 和p+3相等，可以得到（3.201），也可以令 2p+1 和p+3相等得到（3.202），自然可以得到（3.203）。考虑到 p和n，方程（3.211）可以重写成(www.xing528.com)

令线性独立项 tanhjτ（j=1，3，5）的系数等于零，可以得到

此时振幅变成

并且满足条件（3.207）。且

这些条件保证了激波的存在。因此，（3.197）的激波由下式给出

这里振幅由（3.214）确定，波速满足（3.213）以及相应的条件。此外，这些条件（3.215）也需要满足。

3.3.3.3　奇异孤立波解（类型-I）

对于（3.197）的类型-I 型奇异孤立波解，假设

这里 p>0依然由齐次平衡原理来确定，A和B 是自由参数，而τ 依然如前面的（3.199）来确定。将（3.217）代入（3.197）可以得到

如同方程（3.200），利用齐次平衡原理，分别令（n+1） p+1 和 p+5相等，2p+3 和p+5相等，或者2p+1 和p+3相等，可以得到（3.202），于是有（3.203）。因此（3.218）变成

再次，利用线性独立项的系数cschjτ（j=3，5，7）等于零，可以得到波速如同（3.205），振幅则如同（3.214），并且等式也和（3.215）一样。因此，广义KdV方程（3.197）的类型-I 型的奇异孤立波解由下式给出

这里孤立子的振幅和速度由（3.205）和（3.214）确定，为了保证孤立波解的存在，也需要满足等式（3.215）。

3.3.3.4　奇异孤立波解（类型-II）

为了得到方程（3.197）类型-II 的奇异孤立波解，假设

这里A，p 和τ 和前面的定义一样。将（3.221）代入广义KdV 方程（3.197），可以得到

平衡最高阶导数项和非线性项可以得到（3.202）和（3.203）。这样（3.222）约化成

自然，（3.213）-（3.215）再次出现。最后，广义五阶KdV 方程（3.197）的奇异孤立波解（类型-II），由下式给出

这里振幅由（3.214）给出，而波速由（3.213）确定。