非线性偏微分方程研究成果

本书以对称为自始至终的一条主线，所有的内容都围绕对称展开。系统地研究一些非线性偏微分方程的李对称、非局域对称、对称约化、精确解及守恒律。将李群方法拓广到分数阶非线性偏微分中去，这也是本书的研究亮点之一。鉴于分数阶微分方程的性质，如何将整数阶微分方程的系统方法，推广到分数阶微分方程中去，以及用群方法系统地研究离散方程、积分方程等还有很长的路要走。

本书主要工作如下：

非局域对称、非经典李群的研究：

1.系统地研究了变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解；在不同的规范条件限制下，找到了相应的非局域对称，得到了其与常系数经典薛定谔方程之间的关系，并给出了精确解。

2.系统地研究了一些（1+1）-维非线性偏微分方程，包括三阶和四阶Burgers 方程以及一个五阶KdV 方程，利用非局域对称将方程线性化，以及利用得到的变换，寻找相应的新解并给出了方程的守恒律。(www.xing528.com)

经典李对称的研究：

系统地研究了一些常系数的（1+1）-维、（2+1）-维非线性偏微分方程。基于经典李对称分析，得到了这些方程大量的解。同时研究了这些方程的非线性自治性，利用非线性自治性推导了该方程非平凡的独立的守恒向量场。

研究了一个新的（2+1）-维sine-Gordon 和sinh-Gordon 方程，首次从AKNS 系统，推导出了这两个方程。基于广田双线性方法，给出了（2+1）-维sine-Gordon 方程的单孤立波解、双孤立波解以及N孤立波解，并考虑了该方程的对称。

系统地研究了分数阶非线性偏微分方程的对称和守恒律。