非线性偏微分方程的对称性、不变解与守恒律

这一小节，利用经典对称、非经典对称去处理n=2时的情形。

3.3.2.1　经典对称分析

考虑李对称分析方法，可以得到

这里c1，c2和c3任意常数。所以可以得到相应的向量场

3.3.2.2　非经典对称分析

前面一小节，考虑了经典对称分析，这一小节，利用非经典李对称分析处理五阶KdV 方程。需要考虑另外的不变曲面条件

这样一来，可以得到

不失一般性，考虑下面两种情况：（i）τ=1；（ii）τ=0，ξ=1。

1.τ=1。从不变曲面条件（3.168），可以得到

将 ut用 η−ξ ux来代替，可以得到

解这些方程，可以得到

这里C1和C2是任意常数。可以得到下面的“非经典对称”：

显而易见，V4=V3+C1V2+C2V1，依然是经典对称。因此可以说，这个方程在这种条件下，并没有非经典对称。

2.τ=0，ξ=1。如前所述，此时

解超定方程组，可以得到

也就是说，对于这种情况，并不存在额外的非经典对称。换而言之，从非经典的角度，得不到新的精确解。

3.3.2.3　势对称分析

假定（3.152）可以写成守恒律的形式

则可以得到下面的系统S（x，t，u，v）=0

利用经典李对称分析方法，可以得到系数函数如下：

可以发现该方程并不存在势对称。

3.3.2.4　n=2时，优化系统、对称约化和群不变解

前面的小节，从经典对称、非经典对称、势对称研究了n=2时的情形。现在基于优化系统，去推导一些群不变解。

3.3.2.5　一维子代数的优化系统(www.xing528.com)

为了得到优化系统，考虑伴随表示

这里∊是非零常数，[Vi，Vj]由下面的式子确定

可以得到一个优化系统

3.3.2.6　对称约化

这一小节，基于优化系统，对方程进行约化。

（1）V1.对于算子V1，可以得到群不变解是 u=f（ξ），并且ξ=t是群不变量。这种情况只有平凡解 u（x，t）=C。

（2）V2+λV1。对于线性组合V2+λV1，得到群不变解是

这里群不变量是ξ=x−λt。将（3.182）代入（3.168），可以得到下面的常微分方程

如果β=γ2，每一项乘以f，并且积分一次，可以得到

这里k是积分常数。

（3）V3.对于 V3，可以得到

将（3.185）代入（3.168），可以得到

3.3.2.7　通过幂级数方法求群不变解

假定（3.183）有下列形式的解

将（3.187）代入（3.183），得到

当n=0时，比较系数可以得到

对于一般的情况，若n≥1，可以得到

这样一来，级数解可以写成下面的形式

因此，有

这里ci（i=1，2，3，4）是任意常数。

注记 其他的约化方程用类似的方法也可以得到级数解，不再一一列出。

此外，利用Maple 软件可以得到雅克比函数和Weierstrass 椭圆函数解：