非线性偏微分方程的相似约化和精确解

基于李对称方法，可以得到（4.1）相应的向量场为

下面就不同的情况进行讨论。

（Ⅰ）V1

对于算子 V1，有

这里g=y，h=t 是群不变量。将（4.3）代入（4.1），可以得到

需要注意的是，这个方程（4.4）正是著名的热传导方程。

（Ⅱ）V2

对于V2这种情况，产生了

这里r=x，h=t 是群不变量。将（4.5）代入（4.1），得到下面的偏微分方程

（Ⅲ）V3

对于向量场V3，可以得到

r=x，g=y 表示群不变量。将（4.7）代入（4.1），得到

（Ⅳ）V4

对于这种情况，可以得到

h=t，g=y 是群不变量。把（4.9）代入（4.1），得到

（Ⅴ）V1+V2

对于V1+V2产生下面的不变量

把 f 看成新的因变量，h和s作为新的自变量，则ZKB 方程（4.1）变成

需要注意的是，上面的约化方程都是（1+1）-维的偏微分方程，然而对于一些偏微分方程，求解它们依然有一定的困难。为了将它们约化，再次利用李对称分析，为简便起见，仅考虑方程（4.12），可以得到

组合 Y1+λ Y2产生下面的情况(www.xing528.com)

则可以得到下面的非线性常微分方程

现在，为了得到该方程的解，假定（4.15）有下列形式的解

把（4.16）代入（4.15），有

当n=0时，可以得到

对于一般的情况n≥1，有

这样一来，可以得到如下形式的幂级数解

因此有

这里ci（i=0，1，2，3） 是任意常数，其他系数cn（n≥ 3） 也可类似推导出来。

为了寻找其他形式的解，利用黎卡提（Riccati）方程的解去构建原方程的解。黎卡提方程如下

这里 p，q，r 是实常数。其解如下

这里C1，C2是任意常数。再次利用齐次平衡原理，平衡方程（4.15）中最高阶导数项和非线性项，可以直接假设有下列形式的解

这里a0，a1，a2是待定常数。

将（4.22）和（4.24）代入（4.15）中，令φ的独立项系数等于零，可以得到

其中 a0是任意常数。并且

这样可以得到（4.1）的解如下

这里θ=x−y−λt，λ由（4.25）确定。

解（4.27）是方程ZKB（4.1）的一般解。其中包含了其他文献的结果，比如文献[102] 中利用“tanh method”得到的结果，选择C1=C2=1，p=0，。也可以和文献[101]中的结果对比。

如果令 C1=1，C2=−1，p=0，4rq−p2>0，可以得到

或者令C1=1，C2=1和4 rq−p2>0，可以导出