函数的极值和最大（小）值-《简明高数》

在生产实践与科学实验中，经常会遇到“最好”、“最大”、“最小”、“最省”等问题．在数学上，这些问题一般都归结为函数的极值的问题．极值问题不仅在实际问题中占据重要的位置，而且它也是函数性态的一个重要特征．

一、函数的极值及其求法

1．函数的极值

定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 对于x0附近的任意x，如果都有f(x)＜f(x0)（或f(x)＞f(x0)）, 则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）．x0叫作函数f(x)的一个极大（或极小）点．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点．

关于函数的极值，作以下说明.

（1）函数的极大值和极小值概念是局部性的．如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 那只是就x0附近的一个局部范围来说, f(x0)是最大的；如果就f(x)的整个定义域来说, f(x0)不一定是最大值．如图2-5中f(x1)是函数f(x)的极大值，但不是最大值．对于极小值情况类似．

（2）函数的极大值不一定比极小值大．如图2-5中，极大值f(x1)小于极小值f(x5)．

图2-5

（3）函数的极值点只能在区间的内部，而不能在区间的端点．

（4）由极值的定义可知：函数的极值点一定是函数单调区间的分界点，即一阶导数为零的点和一阶导数不存在的点．

我们把一阶导数等于零的点，称为函数的驻点．

2．极值的判别法

设函数f(x)在点x0处连续且在x0的某去心邻域内可导,

（1）若当x＜x0时，f′(x)＞0，而当x＞x0时，f′(x)＜0，那么函数f(x)在x0处取得极大值；

（2）若当x＜x0时，f′(x)＜0，而当x＞x0时，f′(x)＞0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；

（3）若在点x0的左右两侧，f′(x)不改变符号, 则函数f(x)在x0处不取得极值．

求函数极值点和极值的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求出导数f′(x)；

（3）求出f(x)的全部驻点和不可导点；

（4） 用驻点和不可导点把函数的定义域划分为若干区间，列表讨论在相应区间内f′(x)的符号，确定极值点；

（5）计算出各极值点的函数值便得函数的极值．

实际上只要讨论了函数的单调性，就可求出函数的极值．

例1 求函数f(x)=(x2-1)3-1的极值．

解（1）f(x)的定义域为(-∞,+∞)；

（2）f′(x)=3(x2-1)2·2x =6x(x+1)2(x -1)2，令f′(x)=0，得驻点x1=-1，x2=0，x3=1；

（3）列表讨论如下.

所以，函数在点x=0取得极小值f(0)=-2，函数没有极大值．

例2 求函数f(x)=x3-3x2-9x +5的极值．

解 （1）f(x)的定义域为(-∞,+∞)；

（2）f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x -3)，

由f′(x)=0，得驻点x1=-1，x2=3．

这两个点把函数的定义域划分为三个区间，在相应的区间内讨论函数的性质，如下表所示.

所以函数的极大值为f(-1)=10，极小值为f(3)=-22．

解（1）f(x)的定义域为(-∞,+∞)；

（3）列表讨论如下.

二、函数的最大值和最小值

1．闭区间上连续函数的最大（小）值

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则函数f(x)的最大值和最小值一定存在．函数的最大值和最小值有可能在区间的端点处取得，也可能在区间(a，b)内取得．若函数的最大值在区间内取得，则最大值点一定是函数的极值点．因此求闭区间上连续函数的最大值和最小值，只需求出函数在区间内的所有驻点和不可导点，把相应点的函数值计算出来，并和端点处的函数值比较，最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．

例4 求函数y=2x3+3x2-12x +14在[-3，4]上的最大值和最小值

解 f′(x)=6x2+6x -12，由f′(x)=0得驻点x1=-2，x2=1．

由于 f(-3)=23，f(-2)=34；f(1)=7；f(4)=142．

因此函数y=2x3+3x2-12x +14在[-3,4]上的最大值为f(4)=142，最小值为f(1)=7．

2．实际问题中的最大（小）值

在实际问题中，我们首先需要根据问题的意义建立数学模型，一般情况下，先建立一个目标函数f(x)．如果目标函数f(x)在它的定义域内有唯一的驻点x0，而从实际问题本身可以知道函数f(x)必有最大值或最小值，那么f(x0)就是所要求的最大值或最小值．

例5 铁路线上AB段的距离为100km．工厂C距离A处为20km, AC垂直于AB（见图2-6）．为了运输需要, 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每吨公里货运的运费与公路上每吨公里货运的运费之比为3:5．为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省, 问D点应选在何处？(www.xing528.com)

图2-6

再设铁路上每吨公里的运费为3k，公路上每吨公里的运费为5k，货物从B点到C点需要的总运费为y, 则

y=5k·CD+3k·DB (k是某个正数)，

即

于是问题归结为：求目标函数y在[0，100]上的最小值．

由y′=0，得

解之得x=15，目标函数有唯一驻点：AD=15(km)．

根据题意可知，该函数一定存在最小值，故

即为所求．因此当AD=15(km)时总运费最省．

例6 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？

解 设每套公寓的租金为每月x元，获取的收入为y元，则目标函数为

整理得

则

由y′=0得唯一驻点：x=350．

故每套公寓月租金为350元时收入最高．最大收入为

例7 要建造一个容积为V（正常数）的圆柱形密闭容器，问应怎样选择圆柱形容器的半径R和高h，才能使所用的原材料最省？

习题2.5

1.判断下列函数有无极值：

2．求下列函数的极值：

3．求下列函数在给定区间上的最大或最小值：

4．把长为a的线段截成两段，怎样截才能使以这两段线段为边所组成的矩形的面积最大？

5．求证面积一定的矩形中，正方形的周长最短．

6．矿井下有一“T”形通道（见右图），由于施工的需要，需把8m长的钢管由A通道水平抬至B通道．若通道的宽分别为2m和3m，那么钢管能否顺利通过？

7.设某产品的价格与需求的关系为=250-0.3q，总成本函数C(q)=100q+1800（元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润．